星塚研究所

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数学?哲学?眠り姫問題について

1: 132人目の素数さん 2011/12/28(水) 18:04:21.55 .net
次の一連のことが行われることが被験者 (眠り姫) には分かっているものとする。

1. 被験者は日曜日に薬で眠らされる。

2. 被験者が眠っている間に, 歪みのないコインが一回だけ投げられる。

3. コインが表の場合, 被験者は月曜日に一回起こされて質問を受け, それで終了である。

4. コインが裏の場合, 被験者は月曜日に一回起こされて直ぐに質問を受け, その後, 薬により再び眠らされ, 火曜日に再び一回起こされて直ぐに質問を受け, それで終了である。

5. 被験者が飲まされる薬は, 強制的に起こされるまでは決して目を覚ますことが出来なくなる作用と共に, 被験者が過去に強制的に起こされた際の一切の記憶 (起こされたこと自体の記憶も含む) を消し去ってしまう作用があるので, 月曜日に起こされた場合も火曜日に起こされた場合にもその時の意識の状態に違いは全くない。

6. 又, 起こされて質問を受ける場所には, その日が何曜日かについて知ることが出来るようなものは一切置かれていない。

7. 起こされた時に受ける質問は 「コインが表であった確率は幾らか」 というものである。

以上の設定の下で, 被験者は質問を受けた時, 答は幾らとするのが正解か。
解答:1/2 とする考えと 1/3 とする考えがあり, 決着を見ていない。
2: 132人目の素数さん 2011/12/28(水) 19:38:20.32 .net
またベイズ確率単発スレかよ
7: 132人目の素数さん 2011/12/29(木) 10:11:34.25 .net
>>2
そんな単純な問題ではない.

5: 132人目の素数さん 2011/12/28(水) 20:58:19.89 .net
裏なら*ぬ、なら表確定みたいな事か
じゃあ俺は1/3だと思う
6: 132人目の素数さん 2011/12/28(水) 23:52:34.53 .net
どの出来事とどの出来事が平等かが予め決まってるのなら確率は考えられる
たとえばサイコロの1が出るのとサイコロの2が出るのとかは普通平等と考える
そんな考えを元にしてるからサイコロの1が出る確率は1/6な訳で、だから1が出るのと2が出るのは平等かどうか?なんて聞かれたら、そんなの数学での質問ではない

同様に>>1も何を平等にするかを聞いてる部分があるから数学ではない
8: 132人目の素数さん 2011/12/29(木) 11:48:03.93 .net
量子力学も絡んでいるとかなんとか
9: 132人目の素数さん 2011/12/29(木) 18:30:51.12 .net
リンク先の pdf は読んだが、正直1/3 以外の答えがどう正当化されるのか理解できなかった。
被験者を200~300人集めれば、正解は自ずと明らかなように思える。
10: 132人目の素数さん 2011/12/29(木) 21:41:49.78 .net
投げたコインが表が出る(客観)確率をp、裏が出る(客観)確率を1-pとする。

目覚めた人にとっては
表-月,裏-月,裏-火
の3通りで

P(表-月):P(裏-月)=p:1-p
P(裏-月):P(裏-火)=1:1

が成立して、確率分布は

P(表-月)=p/(2-p)
P(裏-月)=(1-p)/(2-p)
P(裏-火)=(1-p)/(2-p)

と考えるのが妥当で、特にp=1/2の時は
P(表-月)=P(裏-月)=P(裏-火)=1/3
と考えるのが妥当だと思う。

以上から
目覚めた時の(その人にとっての)コインが表である確率=P(表-月)=p/(2-p)=1/3。

目覚めた時に「今日は月曜日」と教えてもらった場合
コインが表である確率=P(表-月|月)=P(表-月)/{P(表-月)+P(裏-月)}=p=1/2。

これ以外の答えは私には理解できない。
12: 132人目の素数さん 2011/12/30(金) 09:23:12.20 .net
条件を変えて、裏パターンでも月曜か火曜、どちらか1日しか起こされないなら1/2派の答えそのままで正解だけど、1の問題でも同じ答えとは思えない
13: 132人目の素数さん 2011/12/30(金) 17:06:10.23 .net
例の pdf で唯一有効っぽい感じの 1/3 派への批判は、実験開始前と実験中でコインが表の確率は 1/2 → 1/3 となるが、被験者は何の情報も得ていないからベイズ改訂の理由がない というもの。
一瞬だまされそうになるが、実験が始まると被験者は今日が何曜かの情報を失うから、条件の変化によって改訂は起こる。
17: 132人目の素数さん 2012/01/14(土) 00:55:28.66 .net
情報が増えた時に、その情報の下での条件付き確率を求める事をベイズ改訂というから、実験開始前→実験中(起きた時)の変化は、ベイズ改訂とは言わないんじゃなイカ
(実験開始前と実験中では思考対象となる確率空間が全然違う)

被験者は日曜に眠らされ、月曜に1回起こされてからまた眠らされ、火曜に1回起こされて実験終了(ただし、月曜に起こされた記憶は消される)とする。
日曜、被験者が眠らされた後に歪みのないコインが投げられる。
以上のことを被験者は知っているとする。

状況0
起こされた被験者にとっての曜日と裏表の同時分布は
P({月-表})=1/4, P({月-裏})=1/4, P({火-表})=1/4, P({火-裏})=1/4.
よって、コインが表の確率は1/2

状況1
ここでD1:「コインが表の場合は火曜に起こされることはない」という情報を得ると
確率分布は
P({月-表})=1/3, P({月-裏})=1/3, P({火-裏})=1/3.
と改訂され、表の確率は1/3

状況2
さらにD2:「今は月曜」という情報を得ると確率分布は
P({月-表})=1/2, P({月-裏})=1/2
と改訂されて、表の確率は1/2 となり、
状況0→状況1→状況2で、表の確率が1/2→1/3→1/2と改訂していくことがわかる。

眠り姫問題では眠る前に情報D1を得ているから、被験者が起きた時点で状況1となる

15: 132人目の素数さん 2011/12/30(金) 19:21:20.76 .net
数学の問題として定式化するのは難しそうだね。
22: 132人目の素数さん 2012/02/08(水) 19:19:47.65 .net
0ですと答えれば2/3の確率で正解するんじゃね
23: 132人目の素数さん 2012/02/19(日) 23:28:48.98 .net
量子力学が絡んでるか、さっぱり分からんが、この手の「怪しげな確率問題」、謎の宇宙人Ωのテレパシー、感ずるよ。
さて、神というか宇宙人Ωから授かった拙者の直感では、、

○ 月and表 × 火and表
○ 月and表 × 火and裏
○ 月and裏 ○ 火and表
○ 月and裏 ○ 火and裏

眠り姫は、宇宙人Ωの仕業により、○を根元事象として体験するはず。
 月曜日である確率は、2/3
 火曜日である確率は、1/3
 目覚めた日の(直前の)コインが、表である確率は、1/2
 目覚めた日の(直前の)コインが、裏である確率も、1/2

あ、で、1回目のコインが表である確率なら普通の条件付き確率の計算問題であり、
2/3 * 1/2 + 1/3 * zero = 1/3

まあ、「怪しげな確率問題」なので間違っててもお手柔らかにね
24: 132人目の素数さん 2012/02/20(月) 02:50:33.96 .net
こういうのは、もっと極端な場合を考えてみれば違いがわかりやすい

コインが表の場合、被験者は月曜日に一回起こされて質問を受け、それで終了。
コインが裏の場合、被験者は月曜日に100回火曜日にも100回起こされて質問を受ける。薬の効果は同じ。

15分に1回以上起こされるのが嫌なら、実験を200日間に伸ばしてもよい。
59: 132人目の素数さん 2012/10/14(日) 02:04:40.65 .net
唯一回だけの試行なのか、複数回の試行(の中の1回)なのかや、コインやサイコロなどを先に投げる(出目などの確率変数の値が先に決まる)か、後に投げるか、で区別して考えるというのが、分析哲学界での通説らしく(そのような事が自称分析哲学者の三浦俊彦の本に書かれていた)、例えば眠り姫問題では、唯一回の試行でかつコイン投げが月曜に起こされる前に行われる場合と、複数回の試行や、コイン投げが月曜に起こされた後に行われる場合とでは、確率が異なるらしい・・・
(前者の場合は 1/2 で、後者の場合は 1/3 だという)

のだが、この考え方は全く理解、共感できない
主観確率ベイズ確率に対して否定的、無理解というわけではないのだが、「唯一回の試行か複数回の試行かで主観確率(信念の度合)が異なる」とは思わない
65: 132人目の素数さん 2013/04/14(日) 09:56:47.57 .net
この問題、唯一設定と反復設定で、一度だけの実験か複数回何度でもやるかで違うと言うけど、一回きりの実験でもやれば表を一度体験するか裏を二度体験するかだよね。
ただ起きた時は表が三分の一で、今日は月曜日と聞かされた時は表が二分の一で正しいと思うが。

そうでないなら実験をしている外側の人間か被験者か誰にとってかで、言葉の定義が曖昧なだけだよね。
66: 132人目の素数さん 2013/04/14(日) 10:57:40.69 .net
外にいる実験者からすれば表と裏は二分の一でしか起こっていないという事実があるだけ。
しかし、被験者には裏は表の二倍起きている。

ただ起こされて何も知らされてない状況なら裏の確率は表の二倍で三分の二。
実験で起こされて火曜日と知らされれば確率1で裏と確定する。
月曜と知らされれば確率は二分の一に下がる。
何もおかしくない。
67: 132人目の素数さん 2013/12/11(水) 11:23:31.51 .net
実験中の被験者当人から見れば
月曜表,月曜裏,火曜裏の確率1/3ずつ

実験外部の人から見れば
表,裏の確率1/2ずつ

↑これはわかるが、1/2派のいう
月曜表の確率1/2、月曜裏,火曜裏の確率1/4ずつ
っていうのは、どういう人の視点なんだ?
68: 132人目の素数さん 2013/12/11(水) 17:09:07.13 .net
分析哲学者の視点なんじゃね? 笑
69: 132人目の素数さん 2013/12/21(土) 16:52:46.17 .net
三浦俊彦の本、いくつか読んだけど「哲学的才能とは確率的直観である」とか書いてるくせに、この人の確率に対する考え方やセンスは、そこらの確率系のスレのトンデモ君と大差ないレベルだから、全くあてにならない
70: 132人目の素数さん 2013/12/21(土) 21:52:29.05 .net
単に、確率的直感の無い人には、哲学的才能が無い という正解なのでは?
71: 132人目の素数さん 2013/12/21(土) 23:11:38.14 .net
いや「哲学的才能とは確率的直観である」っていう主張自体には別に異論はないんだが、そう言ってる哲学者本人の確率的直観が怪しいから、その主張を信じるなら、哲学的才能のない哲学者の(それ以外の)主張なんてあてにならないな
って話
72: 132人目の素数さん 2013/12/22(日) 21:37:56.38 .net
ウソつきのバラドクスは、ウソつきが常にウソしか言わないからパラドクスになる。
アホな人が「俺はアホだ」ということに、矛盾はない。
73: 132人目の素数さん 2013/12/23(月) 01:28:40.48 .net
発言自体が矛盾してるか否かという問題ではなくて、専門家がアホであっては困るというか、そんなアホの話なら、他の主張もあてにならないって話だよ

ただ、もし
・アホは間違ったことも言う
・専門家の言うことは正しい
という隠れた前提もあると考えるなら
・専門家が「俺はアホだ」と言うというのは矛盾だ

76: あんでぃ 2013/12/27(金) 22:24:24.60 .net
普通に1/2だと思うけど…1/3ってはどうゆう計算でそうなるの?…
77: 132人目の素数さん 2013/12/28(土) 18:08:25.34 .net
目覚めている実験被験者当人からみれば、今の状態は
・コインは表で今は月曜日
・コインは裏で今は月曜日
・コインは裏で今は火曜日
の3つの内のいずれか1つだから、コインが表の確率1/3

それ以外の人からみれば
・コインは表
・コインは裏
の2つの内のいずれか1つだから、コインが表の確率1/2
78: あんでぃ 2013/12/30(月) 01:15:58.56 .net
火曜に起こされれば…聞かれるのは月曜と火曜の間に投げられた結果てあって…月曜の結果はどうでもいいんでしょ?
…んじゃ1/2だと思うけど…

79: 132人目の素数さん 2014/01/01(水) 19:41:11.60 .net
眠り姫問題は>>1で終わりじゃなくて続きがあるんだよ
例えば以下のように続く

起こされて「コインが表であった確率は幾らか」と質問された後、2つ目の質問として「今日は●曜日だ。これを考慮したら、コインが表であった確率は幾らか?」(●には月か火の正しい方が入る)と訊かれる

月曜だと言われた場合、火曜だと言われた場合のそれぞれで、コインが表であった確率は幾らなのか?
火曜だと言われた場合、ほとんど全ての人は、コインが表だった可能性は消えたと考えて、コインが表であった確率は0だと答える

月曜だと言われた場合、1/2とする考えと2/3とする考えがあって、はじめの質問に対し「1/3」と答えた者は「1/2」と答え、はじめの質問に対し「1/2」と答えた者は「2/3」と答えることが多く、前者を1/3派、後者を1/2派と呼ぶ
少数だがこれ以外の答え方をする者もいる

眠り姫問題は、1/3派と1/2派のどちらが正しいのか(あるいは両方とも正しくないのか)を争う問題というわけだ

それと、>>1の設定だとコインが投げられるのは日曜と月曜の間になっている
分析哲学者の三浦俊彦によれば、コインを投げるタイミングは日曜と月曜の間であっても月曜と火曜の間であっても問題に変化はない、というのが1/2派も1/3派も一致している定説ではあるのだが、彼本人はそうではないと考えているらしい
80: あんでぃ 2014/01/01(水) 23:27:39.45 .net
2回投げてる場合は…どっちについて聞いてるの?…
2回のうち少なくとも1かいが表であった確率を聞いてるわけではないよね?…

81: 132人目の素数さん 2014/01/02(木) 00:59:56.80 .net
コインは1回しか投げない
何を勘違いしてるんだ?
82: あんでぃ 2014/01/02(木) 01:20:36.02 .net
>>81
ホントだ!…
しかしそれならなおさら…1/2でしょ…
83: あんでぃ 2014/01/02(木) 01:32:20.40 .net
自分の性別はどちらか?…と聞かれて…男と答える…
84: 132人目の素数さん 2014/01/02(木) 01:36:18.33 .net
自分が男である確率は?…と聞かれて…1/2と答える…
85: 132人目の素数さん 2014/01/02(木) 01:36:57.46 .net
このくらい違う…

86: 132人目の素数さん 2014/01/07(火) 17:41:57.10 .net
自分が男か女か分かっているのに、男である確率1/2というのはおかしいだろ

例えば妊婦のお腹の子の性別に関して、何も情報がないなら男である確率は1/2だが、エコー検査で股間にそれらしい影があるとわかれば男である確率は高くなるでしょ
確率というのは情報によって変わるものだよ
87: 132人目の素数さん 2014/01/09(木) 00:52:34.97 .net
そこで「条件付き確率は条件によって変わる」と言わないから、お馬鹿さんがついてこれない。
88: 132人目の素数さん 2014/01/09(木) 02:39:43.22 .net
>「条件付き確率は条件によって変わる」
これはまさしく正論なんだけど、これがわからない人ってそもそも「この場合の確率は、条件付き確率のこと」っていうのが通じなさそうだから、まず具体例を出して、後から「これが条件付き確率なんだよ」って教えるのが良いと思ったんだ


参考文献

http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1325063061/