星塚研究所

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素数についての法則を発見した

1: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:27:30
pを素数、aを2以上p未満の自然数とするとき、1にaを掛け続ける作業はp-1を周期に巡回する(modp)

例:pが5の場合

1に2を掛け続ける作業:1,2,4,3,1,2,4,3,1,2,……(mod5)
1に3を掛け続ける作業:1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,……(mod5)
1に4を掛け続ける作業:1,4,1,4,1,4,1,4,1,4,……(mod5)

 1

3 5 2

  4
↑みたいな図で考えるとイメージしやすい

2: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:35:16
図ちょっとずれちゃった…書き直す

  1

3 5 2

  4
みたいな図
時計回りに90度移動すること=2を掛けること
反時計回りに90度移動すること=3を掛けること
時計回りに180移動すること=4を掛けること
時計回りに360度移動すること=1を掛けること
になる。


また、向かい合う数を足すとp(この例の場合は5)になる

これ使ってなにかできないかな?
3: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:41:37
pが7のとき

  1
5   3
  7
4   2
  6
173: 132人目の素数さん 2013/07/18 13:41:45
>>3
これ1、3になっていて2を掛けてないんじゃね?
4: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:45:37
pが11のとき

   1
 6   2
3     4      
   11
7     8
 9   5
   10 
5: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:50:24
pが13のとき

   1
  7 2
 10   4
5  13  8
 9   3
  11 6
   12
8: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:54:55
あぁ上手く描けない…まぁ伝わったらいいか…
こんな感じになることを発見したんだ!もう既に発見されているものなのかもしれないけど!これ使ってなにかできないかな???
9: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:56:02
フェルマ・・・・・おっと言い過ぎたかな

11: 132人目の素数さん 2013/03/27 20:57:00
>>9
もうフェルマーさんが発見してる感じ?だったらごめん!
16: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:07:17
発見てwwwwwww
大学で普通に習うし、
ちょっと頭いい人なら小学生くらいでも発見してるしwwwww
21: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:11:40
小定理がこの中に含まれているのは知ってるよ~~

ある素数より小さい全ての自然数がその素数の回りを回っているのが凄いと思ったんだ…
大学で習うんだ…ごめん…
23: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:14:07
すねるなよ
あと大学じゃなくて数学が好きな中学生なら大体知ってる
24: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:14:32
そっかぁ…ごめん…
18: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:08:58
向かいあう数同士を足すとpになる
また等間隔にあるn(nは2以上の自然数)を足すとpの倍数になる


  1
5   3
  7
4   2
  6

1+2+4=7
3+5+6=14
27: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:27:10
どの素数の場合でもこういうふうに円を描くことって証明済みなの?
28: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:40:13
「こういうふうに円を描くこと」というのが、p-1以下の数が1回ずつ現れることだとするなら、
代数学の言葉では「Z/pZの乗法群は巡回群である」と表現できて、これは有名な事実
>>1は代数学の入門書か初等整数論の本でも読んでみるといい
この辺のことがより一般化された形で議論されている
30: 132人目の素数さん 2013/03/27 21:42:33
>>28
ありがとう!
54: 132人目の素数さん 2013/03/29 22:57:37
代数好きになるといいね。
凡人には何が面白いか全く分からん。

59: 132人目の素数さん 2013/03/30 14:44:51
>>1に問題
1にaを掛け続けて1からp-1までの全ての数が現れるとき、aを生成元という。
例.
p=5のとき2は生成元だが4は生成元でない
p=7のとき3は生成元だが2は生成元でない

一般に、生成元を見つけることは難しい。
しかし、一つでも生成元が見つかれば、ある法則によって、他の全ての生成元が簡単に見つけられる。
その法則とは何か。
86: 132人目の素数さん 2013/04/02 03:25:49
>>59
>>1じゃないけど>>1の考えた円でpの加法生成元個目って乗法生成元になってるかな。
何か面白い。
60: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:11:42
とりあえずその生成元の逆数は生成元になるね…
めんまだその法則見つけれてないんだ…
61: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:18:48
aの(p-1÷2)乗がp-1になるときaが生成元なのは分かるけど…
63: 132人目の素数さん 2013/03/30 15:58:44
>>61
それは反例がある。
例えばp=7でa=6
65: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:02:58
>>63
そっか…
p-1は生成元にならない(ただしp=3の場合は除外)
って条件をつければいいのかな…
66: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:21:37
>>65
p=13で,a=5,8
5,12,8,1,5
5,12,5,1,5
69: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:40:14
とにかく具体例を観察することだな
ゆっくり考えるといい
70: 132人目の素数さん 2013/03/30 19:54:13
うん。ありがとう
84: 132人目の素数さん 2013/04/01 21:22:40
数学素人だけど、この数字の並び面白いね。
どういう仕組みなんだろ。
生成元の答えと関係有るのかな。
89: 132人目の素数さん 2013/04/02 22:13:25
この巡回乗法群と加法群で有限体を成すんだろうけど、0とp-1の扱いが分からなくなった。
乗法群と加法群で1ずれたらすっきりする気がするのは何故だろう。
良く分かって無くてごめんなさい。
90: 132人目の素数さん 2013/04/03 05:31:21
mod(13)の乗法に関する有限環
   1
  7 2
 10   4
5  13  8
 9   3
  11 6
   12
mod(12)の加法に関する有限環
   0
  11 1
 10   2
9  12  3
 8   4
  7 5
   6
この二つって完全に同型だよね。
これを体とした方がすっきりする。
96: 132人目の素数さん 2013/04/03 14:46:28
>>90>>91
集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}に、和はmod12,積はmod13で演算を入れるということか。
手始めに分配法則あたりから確かめてみようか。
91: 132人目の素数さん 2013/04/03 08:50:15
加法群では12を単位元とすればいいのかな。時計で正午の事を0時と言うか12時と言うかの違いだし。
0が使えないとなると、拡大体はどうなるんだろう。この円で記述出来るのかな。
92: 132人目の素数さん 2013/04/03 11:05:40
乗法に関する有限環とか加法に関する有限環って何だよwwwww
94: 132人目の素数さん 2013/04/03 12:08:47
この場合の「環」は「数を円状に配置してできる輪っか」程度の意味でしょ
109: 132人目の素数さん 2013/04/05 10:22:22
この法則発見した俺って天才だよな!な!誉めたたえたまえ!
113: 132人目の素数さん 2013/04/07 05:22:31
数学で法則ってw物理じゃないんだからw

自分で見つけたものなんて、たいていは間違いか大昔に既に誰かが見つけてるもの。
悪いこと言わないから、基礎から地道に勉強しなさい。
114: 132人目の素数さん 2013/04/07 07:26:26
はい.ありがとう

117: 132人目の素数さん 2013/04/17 11:05:09
この法則と素数が規則的に並んでいるかどうかっていう問題は関係ないのかな
118: 132人目の素数さん 2013/04/19 14:01:01
bとp-1が互いに素であるとする。

aの±1乗が生成元のとき、aの±b乗も生成元になるのかなって思った
119: 132人目の素数さん 2013/04/19 14:53:41
あと、a,bをpについての生成元、aのx乗=b、bのy乗=aとするとき、
x×y=1(modp-1)になるなーって思った。だから何なのかはよく分からない
120: 132人目の素数さん 2013/04/22 18:26:41
素数pの生成元の個数と
p-1と互いに素なp-1より小さい自然数の個数って等しいんだねえ
121: 132人目の素数さん 2013/04/22 18:42:31
ちなみに素数じゃない場合はこんな円になる

    2
10       6 
    1
  5   3
    14
  11   9
    13
8       4
    12
123: >>59 2013/04/27 00:17:29
>>59の想定解は大体>>118でした。実際は、
aが生成元のとき、「a^bが生成元⇔bとp-1が互いに素」
と考えてた。

ざっくりと証明。
aを生成元、c=a^bとすると、
cが生成元
⇔ある自然数kが存在して、c^k≡a (mod p)
⇔ある自然数kが存在して、a^(bk)≡a (mod p)
⇔ある自然数kが存在して、bk≡1 (mod p-1)
⇔bとp-1が互いに素 □


>>119も正しい。指数法則から分かる。
149: 132人目の素数さん 2013/06/22 07:33:28
おおっ。
凄い事を発見した。
素数は全て奇数だ。

162: 132人目の素数さん 2013/06/28 03:09:28
素数×2-1=素数
否定してくれ
163: 132人目の素数さん 2013/06/28 04:23:47
5×2-1=9
164: 132人目の素数さん 2013/07/03 09:09:02
速攻で反例があって吹いたw
165: 132人目の素数さん 2013/07/09 23:58:17
素数は絶対、六の倍数の右か左隣の数字
166: 132人目の素数さん 2013/07/10 10:32:21
>>165
有名

193: 132人目の素数さん 2013/08/07 13:06:08
素数とは素敵な数の略って初めて知った。
今まで素数を素朴な数だと思って良い印象は持っていなかったけど
これを大学の数学の講義でしってイメージが180度変わったよ。

236: 132人目の素数さん 2013/09/29 18:49:23
結局どうすごいのか全然わかんない
237: 132人目の素数さん 2013/09/29 22:17:40
>>236
素数は何かの倍数+その倍数以下の素数
で成り立っているおってこと。
229: 132人目の素数さん 2013/09/28 23:31:20
なんという車輪の再発見スレw


参考文献

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1364383650/