星塚研究所

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2つの封筒問題について

1: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:02:11.49 ID:3NeGq4o+.net
2つの封筒問題
2つの封筒があり、一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。
一方の封筒を開けると1万円入っていた。あなたはそのままその1万円をもらってもいいし、もう一方の封筒と交換することもできる
そのまま1万円をもらった方が得か、それとも交換したほうが得か。

2: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:04:49.89 ID:3NeGq4o+.net
これ正解なんなの?
4: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 02:31:54.12 id:pa6c7h9s.net
>>2
正解は、換えたほうが得だと思えば換える、
換えないほうが得だと思えば換えない。
カンだけが頼りだ…というのが、数学的答え。
5: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 04:28:46.16 id:eDabyYFA.net
>>4
いい加減なこと言ってんじゃねえぞ!
鼻くそ喰わすぞ、ダボが!
6: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 06:08:53.61 id:pa6c7h9s.net
>>5
いいかげんじゃあない。数学上の正解だよ。

この問題は、「ひとつの封筒があって、2万円か5千円かのどちらかが入っている。この封筒(中身ごと)を1万円で買うか?」と同じ。
封筒の中身が2万円か5千円かを判断する材料がなにひとつ無い以上、換えたきゃ換えるだけだ。

たまに、これを確率の問題と勘違いする奴がいるが、確率が何だかカケラも知らないからなんだろう。
7: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:09:50.11 id:eDabyYFA.net
>>6
すま○こ。論理の問題か。
831: 132人目の素数さん 2016/02/16(火) 21:05:57.13 id:PJre2dk4.net
>>6で終了してる
3: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 01:06:39.78 ID:9yrpplEP.net
フェイスブックに封筒は無いの?
8: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:23:02.45 id:FziTP0Y+.net
論理なんて全然関係無いよ。
考えれば解けるはずの問題だと思って数字をこねくりまわすバカを眺めて愉しむ題材。
9: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 07:50:42.11 id:TKGvFvGW.net
1/2の確率で大きい方、1/2の確率で小さい方をとる
従って1/2の確率でもう一方は5000、1/2の確率でもう一方は20000
期待値12500
11: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:14:54.52 id:tSLRKfuz.net
>>9の回答好きだわ。
これなら変えた方がいいって言える気がするな

50%で10000円得して 50%で5000円損する
単純に言ったら5000円は得できるって考えていいはずだもんな
13: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:56:28.74 id:pa6c7h9s.net
>>9
その 1/2 て数は、どこから涌いて出たんだ?
計算するのと、計算するふりをするのは、違うぞ。
14: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:11:17.84 id:tSLRKfuz.net
>>13
他の値が何も無い上で1万入ってたから1/2で5000円って事だろ。
どっちか分からないから5分5分なんだよバーカ
16: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:44:26.58 id:pa6c7h9s.net
>>14
机の上にトランプの山がある。
一組52枚よりはだいぶ少ないが、何枚あるのかパッと見では判らない。
各マークのうちわけも知りようがない。

この山から1枚ひいて、赤である確率はどれだけ?
赤と黒だから 1/2 ?ww
18: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 10:24:35.15 id:tSLRKfuz.net
>>16
確かにどっちがどの確率で入ってるか書いてないな。
26: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 14:14:17.26 ID:4pxElNzm.net
確かに2万円が入ってる確率と5000円が入ってる確率は同じとはどこにも書いてないな
>>16の言う通りだ
29: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:06:32.47 id:uLArELlr.net
>>26
X円が入ってる封筒と2X円が入ってる封筒があるんだから1/2では?
31: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:13:23.63 id:uLArELlr.net
あと>>16は52枚の中から無作為に選んだカードから確率を考えて、赤を引ける確率は1/2になんないの?
黒か赤が多くなる確率も同じになる確率も同じなんだから。
33: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:45:10.48 id:pa6c7h9s.net
>>31
山を作るのにカードを無作為に選んだなんて、誰が言った?

妹が美術部でコラージュ作品を作るのに使った残りなんで、画面に相応しいカードが抜けている。
何が抜けているかは、知らない。
41: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:08:18.58 id:uLArELlr.net
>>33
故意だとしても極端な話、切り崩した山が全て赤の確立も全て黒の確立も1/2だろ?
743: 132人目の素数さん 2016/02/08(月) 02:55:04.14 id:fdjmQ5Ut.net
>>16
当然1/2でよい。
10: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:07:55.90 ID:3NeGq4o+.net
封筒A(以下A)に1万、封筒B(以下B)に2万入っていると仮定し、換えるパターンと換えないパターンを表すと以下の通り。

1、A開封→そのまま=利益1万
2、A開封→Bに変更=利益2万
3、B開封→そのまま=利益2万
4、B開封→Aに変更=利益1万

よって利益が増える確率も減る確率も同じなので、封筒を換えることによる確率の誤差?は生じない。
っていうのが数学的答えなんじゃないん?
少なくともカンが数学的答えとか恥ずかしくて言えなよ俺は
12: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 08:16:02.00 id:tSLRKfuz.net
>>10
2万が入ってると限らないだろ
1万が入ってる時点で反対は5000か2万だよ
15: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 09:25:27.99 ID:3NeGq4o+.net
>>12
だから仮定するっていってんじゃん。
1万と5000でも同じだよ。
一方の封筒選んだからといって、もう一つの封筒の金額が変わる訳ないだろ?
17: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 10:22:43.74 id:tSLRKfuz.net
>>15
開けるまではもう片方がいくら入ってるかわからない
そこには5000円か20000円が入っている
だから1/2なんだろ?
25: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 13:57:06.20 id:uLArELlr.net
>>17
もう一度いうけど、一方の袋を開いたからといって、もう一つの封筒に入っている金額が変化する訳ないでしょ。
君の考えだとX円が2倍になるか1/2になるかっていう視点だと思うけど、X円入った封筒と2X円入った封筒があると考えれば話は別でしょ?
24: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 12:36:43.80 ID:3NeGq4o+.net
つまりは最初に空けた封筒の金額X円の半分を投資して3倍にする賭けに乗るか否かって問題なんだから、換えた方が統計的に儲けれるのでは?
27: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 14:16:07.34 id:pa6c7h9s.net
>>24
その期待値計算は、間違っている。
もうひとつの封筒の中身が2万円である確率、5千円である確率が不明なのだから、交換した場合の金額の期待値は計算できない。

期待値が求められるのは、どれが出るかは不定だが、各値が出る確率は判っている場合で、その確率を計算に使う。

二封筒問題では、2万円が出る確率5千円が出る確率は判っていない。
30: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:09:29.64 id:uLArELlr.net
とどのつまり封筒AとBのどちらを取るっていう問題なんだから結局変わらんのか
32: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 15:25:21.94 id:eDabyYFA.net
>>30
分かりやすいな。
39: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 17:21:24.37 id:pa6c7h9s.net
コインの裏表が等確率であることとか、サイコロの各目が等確率であることとか、そう仮定してオカシイことは何もないが、そう仮定しなければいけない理由もない。

こういう慣れきった仮定の置き方について、きちんと言及せずに、コインだから 1/2 とかサイコロだから 1/6 とか暗黙で仮定しまうことは数学ではありえないことだが、中学高校の算数では頻繁に行われている。
そういう誤った教育に適応して育ってしまうと、あたりまえのことが意外に理解しにくくなってしまうのだと思う。

二封筒問題では、もうひとつの封筒が2万円である確率が 1/2 だと仮定する理由は何も無い。
根拠の無い仮定の下に計算すると、根拠の無い答えが得られる。
42: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:16:20.50 id:uLArELlr.net
>>39
最初に
「一方の封筒に入っている金額はもう一方の封筒に入っている金額の2倍である。 」
って書かれてんだから、もう一方の袋には自分が開けた封筒の倍の金額が入っている確率は1/2固定でしょ。
なんかBの封筒を開ける際に5000円か20000のどちらかになるって考えてる人が多いけど、最初から「10000と20000」か「10000と5000」って考えた方がいいと思うんだが。
40: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 19:09:40.92 ID:90avrhlq.net
しったかのアホがツイッターで封筒問題のマネゴトをしてみるも、案の定、条件の書き忘れで数学板でツッコミを受けるという構図
43: 132人目の素数さん 2015/12/02(水) 22:38:07.83 id:uLArELlr.net
新しく質問なんだが、この封筒問題を切り崩した話
「X円(1万円)入ってる封筒と2X(2万円)入っている封筒のどちらを取るか」【()の中の金額は選ぶ人にはわからない】
ってなると思うんだけど、その場合2X円を取れる確率はX円が入っている封筒を開けたとしても1/2だよね。
でも「所持金の半分(5千円)を使い1/2の確率で3倍(1万5千円)になる賭けをしますか」っていう問いがあったら当然その賭けに乗った方が得と思えるのはなんで?
元から金額は固定してあるかしていないかの違い?
44: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 00:27:31.93 id:gXVUJcSI.net
二つある封筒の内、高額側の封筒を選ぶか、低額側の封筒を選ぶか
という問い方をすれば、それは、両方とも1/2。
しかし、封筒を開けて、中身を確認し、入っている金額が判った瞬間、今選んだ封筒が高額側だったか低額側だったかという問いは、元々20000円と10000円が用意されていたか、10000円と5000円が用意されていたかという問いと同値になり、それはどちらのセットが用意されていたかに依存するため、「確率不明」に変化する。
(中身を確認した瞬間、「確率が変化する」というのが、気持ちが悪い人が居るようだが、慣れるしか無い。)

中身を確認し、それをXとしたとき、もう一方の封筒の中身が、2Xなのか、X/2なのかは、元々Xと2Xがあったのか、XとX/2があったのかに依存し、それは問題では確認できない。
文字に置き換えても、内容に変化は無い。

新しく出された問題は、勝ち負けの確率が1/2づつと確定している。
従って期待値が計算でき、期待値が大きくなるのだから、チャレンジする方が得

二封筒問題は、最初に用意されていた封筒のセットが、「20000円と10000円」である確率と、「10000円と5000円」である確率が不明であるため、期待値が計算できなく、判断のしようが無い
45: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 01:17:32.91 ID:5NMgLyGy.net
>>44
2万と1万のセットか、1万と5千のセットかは、確率不明じゃなくて1/2ちゃうの?
65: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 05:36:24.93 id:YWljAUh4.net
>>62
>>44
67: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 09:40:22.74 id:s8tS//LJ.net
>>65
シミュレーションじゃなく、計算で求めてしまう手もある。

2万1万の組が用意されている確率をpと置く。
5千1万の組が用意されている確率は1-pになる。
…[1]

ふたつの封筒から確率1/2でひくならば、2万1万の組から2万をひく確率はp/2、
2万1万の組からに1万をひく確率もp/2、
5千1万の組から5千をひく確率は(1-p)/2、
5千1万の組から1万をひく確率も(1-p)/2。

さて、ここで、ひいた封筒が1万である条件下に、もうひとつの封筒が2万である条件付き確率は、
(p/2)/{(p/2)+(1-p)/2}=p。
よって、もうひとつの封筒が5千である条件付き確率は、1-p。
…[2]
68: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 09:42:27.52 id:s8tS//LJ.net
>>67の計算で、
[1]の確率が与えられていれば、[2]の確率か判って、ひいた封筒が1万である条件下の期待値が求まる。

逆にシミュレーションで[2]の確率を推定すれば、[1]の確率を推定したことにもなる。(ベイズ推計)

どちらも判っていなければ、どちらも判らない。それだけの話だ。
p=1/2が出てくる理由は、何も無い。
74: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 19:43:02.58 id:rftredeB.net
>>67
どう考えてもその計算式おかしいだろ。
1万ともうひとつが2万か5千かの確率が違ったとしても、確定してる2つの封筒から引く確率が1/2から変動する意味がわからん。
頭大丈夫か?
75: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 20:00:43.82 id:LsZdel3Z.net
>>74
出題者の99%がケチで5千円と1万円を入れ、1%だけが1万円と2万円を入れたとしよう
そこで200回封筒を引くと平均して、99回は5千円を引き、100回は1万円を引き、1回は2万円を引くだろう
その100回の中でもう片方が5千円である可能性と2万円である可能性は同じか?
78: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 20:24:18.78 id:rftredeB.net
>>75その確率なら確かに違うけど、
「2万1万の組から2万をひく確率はp/2」
はありえんだろ。なぜおかしいと思わない

それに>>76でも言ったが、結局99%2万を入れる人と1%5000を入れる内訳も存在するので、平均確率は5000入れる確率と2万入れる確率は1/2になるから。
83: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 21:08:52.81 id:s8tS//LJ.net
>>78
「2万1万の組から2万をひく確率」
は言葉遣いが悪かったかもしれん。反省した。

「用意された組が2万1万であって、かつその中から2万をひく確率はp×(1/2)」とでも書くべきだったか。
59: 132人目の素数さん 2015/12/03(木) 23:36:10.36 id:QuXUV8+m.net
50%ずつの損得の累計で計算すればわかるだろ。
1000回でも100回でも同じ。
60: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 03:44:12.51 id:s8tS//LJ.net
>>59
その実験をするときに、どのくらいの頻度で2万と1万のセットを仕込むか、どのくらいの頻度で1万と5千のセットを仕込むかで、結果は違ってくるからね。
やってみれば、すぐ判る。
62: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 05:17:59.91 id:rftredeB.net
>>60
それは主旨が違うだろ。
お前のは1万円と5千円か1万と2万の「1万円を獲得できる確率」になってる。
でもこの問題の主旨は「2つの金額の内の大きい額を取れる確率」なんだよ。
そういうのを理解してない馬鹿が多い。
61: 132人目の素数さん 2015/12/04(金) 04:14:56.19 ID:tB/a14ae.net
問題文からは自然に確率が求まりそうだけど、実は求まりませんといういい例だと思う


参考文献

http://ai.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448985731/