星塚研究所

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1/3=0.333…、3倍すると3/3=0.999…どういうことなの?

1: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:48:28.38
1/3は0.33333.....ということは
3/3は0.99999.....となる。
ならば3/3=1ではなくないか?

2: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:53:01.16
又、立った。何十回目か。
3: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 10:59:24.57
この疑問て完全な答えがでるもんなん?
4: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 12:15:19.09
>>3
出る。
数学は定義より始まる。
5: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 12:47:24.37
>>4
3/3は1に限りなく等しいとかでしょ?
それって答えなんかな?

6: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 13:11:44.12
数学は幾つかの無定義概念と公理系より出発する。
但し、公理系は一般に無限個の公理からなっているので、これを同時に全部理解するのが素人には難しいところだ。
9: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 14:38:39.56
>>6
こういう知ったかが一番嫌いです
知ったかしてる暇があったら真面目に数学勉強すればいいのに…
15: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:38:32.26
公理は無限個あっても、公理の型は大抵有限個なので、「無限個あるから難しい」というのは全く的外れ、だと俺も思う
7: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 13:55:23.22
同じ値に対し、複数の表記法があるだけ
そして、“...”の意味は、じわじわと、“目的の値”に近づいていくようなイメージではない。
何らかの理由で省略して表記はしてはいるが、“目的の値”そのものを表す。
0.9999...は、「1-ε  ,εは非常に小さい正の値」 ではない
0.9999...は、「lim[ε→+0](1-ε)」であり、これは、「1」そのもの
12: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:03:11.89
>>7
結局1そのものではなくね?
1に限りなく近いって話でしょ?

8: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 14:00:11.75
こういう勘違いする人が後を絶たないのは、実数の10進表記について高校の授業で触れないからなんだろうな
無限級数は習うのだから、授業の範囲内にあるといえばあるけど、改めて強調されないと気付かない生徒はいるのだし
16: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 16:41:31.86
>>8
なるほど確かに
17: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/14(土) 19:26:00.96
n=0.999…とおく
10n=9.999…
10n-n=9n=9 → n=1なので
0.999…=1
18: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/15(日) 02:13:42.09
1/3*3 = 0.999999...
3/3 = 1
1/3*3 = 3/3 なので
0.999999... = 1
19: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 21:09:06.32
こういうのたまに見るが、こういう人達は化学とか物理で頻発に近似値使ってると疑問に感じなくなると思うのだが、こういう人達は理系ではないのか?
20: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 21:11:06.64
近似値は近似値って考えなんだろ。
22: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/16(月) 22:19:52.92
近似値に ... は出てこない。全く無関係。
23: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/17(火) 01:37:00.81
近似値と言っているのは
十分大きいn番目に対して0.99…9(小数点以下n桁)≒1
のことかと思われる
まぁ0.999…とは違うがな
24: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/17(火) 11:40:26.07
>>1

十進法の小数表示が、一意的でないことに、気づいていない。
2つの表記 0.999…、1が同じ数である。
45: 132人目の素数さん 投稿日:2012/03/24(土) 21:19:51.67
俺も一次関数でつまずきそうになったし、図形の証明問題にも悩んだもんな
中学では最初で最後で5を獲って卒業したよ
55: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/23(月) 19:39:57.15
数学の問題なんぞできても意味はない。
むしろ物理の問題のほうが、よっぽど論理的思考が養われるし、学問として面白い。
57: ようじょ ◆hNziS2E8421X 投稿日:2012/04/23(月) 21:52:02.14
>>55
物理もおもしろいよね!
いまわたし数学だけじゃなくて物理もべんきょうしてるよ
リュードベリとかボーア理論とかきそてきなことだけど;;
でもおもしろい!
58: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/23(月) 21:53:32.99
>>55
物理板へいけよ
物理>>>>>数学
というすれがあるぞ
59: ようじょ ◆hNziS2E8421X 投稿日:2012/04/23(月) 21:55:32.14
>>58
数学がいちばんおもしらいし!
61: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/25(水) 23:39:03.27
>>1
0.99999・・・=1
だから何の矛盾も無い
63: 132人目の素数さん 投稿日:2012/04/26(木) 16:22:53.29
0.999…=1 であることが理解できず
「限りなく近いけどイコールじゃないでしょ?」
とかわめく知的センスゼロのやつは殴りたくなる

ものすごい地頭の悪さ、田舎者ふうの話の通じなさを感じる
70: 132人目の素数さん 投稿日:2012/05/26(土) 22:21:10.45
>>63
そんなことでいちいち腹をたててたら人間としてのセンスを疑われるぞw
高校数学あたりで一回ちゃんと公理的集合論や位相、実数論から始まる基礎解析あたりを入れておくべきな気がする。
今のカリキュラムは高校生を馬鹿にしすぎている。
子供は抽象的な思考は無理と言うことで大人の面目を保ちたいからか?
82: 132人目の素数さん 投稿日:2012/11/17(土) 19:51:00.17
>>1
>ならば3/3=1ではなくないか?
二重否定は肯定
85: 132人目の素数さん
>>1
もし0.9999・・・・が1でなければ、0.9999・・・・にある数を加えれば1になる。
ところが、0.9999・・・・に加えて1となる数は存在しない。
だから、0.9999・・・・=1である、という理解ではどうだろう?
86: 132人目の素数さん
俺は数学を専攻した訳では無いので、説明の厳密さには欠けるかもしれないけど、
(1/3)×3=1は正しいんだけど、
0.333…×3=0.999…は多分間違い。
0.333…は無限小数なので、0.333…33という風にどこかで終わっている訳ではない。
0.333…33なら3倍すれば確かに0.999…99になるが、無限小数としての0.333は、3倍して1になる数である1/3を無理矢理小数表記にしたものである。
なので、1になるという定義である。
88: 132人目の素数さん
>>86
あー、それよくあるかんちがいだよ。
0.999…もじつは1/1を無理やり少数表記になおしたものなんだ。
89: 132人目の素数さん
そんな約束事があるのか?
90: 132人目の素数さん
中学数学の循環小数の分数に直す単元にて
x=0.999…⇒10x-x=9.999…-0.999…⇔9x=9⇔x=1
である事を学ぶ。
高校数学の極限の単元にて
0.999…=lim[n→∞](1-0.1^n)=1
である事を学ぶ。
何れも無限小の差違を差違無しとして扱われる。

無限小の差違を差違無しとしない扱いの内、0.999…と1とを異なる数とする扱いは辞書式順序と呼ばれる順序構成であり、実数を成す順序体は辞書式順序ではない。
辞書式順序では減法や除法に対して完備な順序構成とはならない。
実数体も辞書順序小数の集合も超実数体も辞書式順序超小数も結局は、標準部分関数を通して無限小の差違を排し大意本質を抽出した実数体に帰する結果を導くので、そんな些末な違いを論議するだけ徒労になるだけだ。

それ以上の疑問は0.999…スレへ行きさらせ
91: 132人目の素数さん
辞書式順序の下では
1-0.999…=1/ω

実数体じゃ取り扱われない差違だ
92: 132人目の素数さん
>>91
虚しくならんか?
93: 132人目の素数さん
この疑問はあながちくだらないものではないと思う。
本気で考えたら、公理的な集合や実関数論の議論から、p進数の整合性がとれていることを有限的に示さないといけないから。
いきなり無限級数とかを出すのは説明になっていない。

例えばペアノ算術みたいな自然数論だけ考えると、1の表示は一通りで0.999…という表示は持たない。
一方実数体だけを形式体系として定義すると、1の表示は0.999…でもあるけれでも、実数体の部分集合として自然数の集合を選び出すことができない。
(そのせいでペアノ算術で成り立つ不完全性が実数体では成り立たなかったりする)
だから1というのがどういった形式系で展開するかに0.999…表示の有無が依存してしまう。
94: 132人目の素数さん
わざわざ一階の理論に限定しといて「成り立たない」なんて言ってもね…

95: 132人目の素数さん
半開区間を1/10に分割して得られる有理数列と、10進数表示は1対1に対応したないのです。


参考文献

http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1326505708/