1: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:02:02.95 ID:9egsCnHM.net
俺知ってる。
お前知らないだろ。
知ってるから715を例にあげると全部で4つある。
358^2-357^2
34^2-21^2
74^2-69^2
38^2-27^2
2: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:10:19.24 ID:9egsCnHM.net
方法は
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab
の式から一つの整数を4abで表せれば左辺の式より二つの平方数の差で表せる事になる。
715みたいに一つの整数が奇数の時はちょっと工夫がいる。
3: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:23:08.92 ID:9egsCnHM.net
因みに素数は二つの平方数の差で表せる解が一つしかない。
4: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:30:11.37 ID:9egsCnHM.net
(((p-1)/2)+1)^2-*1/2=55/6
y=(18-(1/3))/2=53/6
となり
6=(55/6)^2 - (53/6)^2
と表せる
40: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 07:34:13.34 ID:3bA0jANh.net
非整数だと特に何の意味も価値もなくなる主張だが
43: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 18:34:06.93 id:um34dgkE.net
心の狭いおっさんが集うスレだなあ
57: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 02:32:42.47 id:FwMQ850f.net
話を拡大して、三乗の差 増やしてn乗の差では？
a^n-b^n=m
58: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 02:39:41.83 ID:kz+jqAUi.net
>>57
このスレでやるのはやめてくれ。
今、それも含めて勉強してるからネタバレされたくない。というのが本音。
60: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 02:54:10.58 id:FwMQ850f.net
じゃあ手伝うか
分かったら先にネタバレするから付いてこいよ
61: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 03:36:04.73 id:QNx5phb1.net
ネタバレか。
まぁ、良いか...
75: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 22:12:43.36 id:pdvesyTR.net
頑張った
76: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 22:34:23.25 ID:+lNdw848.net
>>75
え、もうできたの？
俺はまだまだぜんぜん時間掛かりそうなんだけど。
77: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 23:05:37.89 id:kvoLVakU.net
>>76
ここまで計算したことと、そこから考えたことを途中でもいいから書いてごらん
78: １３２人目の素数さん 2016/05/22(日) 23:32:42.66 ID:+lNdw848.net
>>77
平方数の差の公式が何故成功したのかを改めて知るために復習してた。
二つの立方数の差
(n+1)^3-n^3=z
となり、1つの自然数zを二つの立方数の差で表せれる事になる。
と言うところまで解けました。
例えば2977なら
(2977-1)/3=992
992/n(n+1)=0
n=31
32^3-31^3=2977
と解けます。
まだ差が1の範囲で楽な計算になるだろうけども、992/n(n+1)=0となるnの計算が少し手間がかかる気がします。
今後、ここの計算が楽になる何らかの方法を見つけなければならないと感じています。
86: 1です 2016/05/24(火) 04:20:54.19 id:TlAfaMBP.net
nを計算する時
992/n(n+1)=0より
(992/n)=n+1の式の方が、整数nで割った数が整数(n+1)じゃないといけないことが解るから良いかな。
ここでnは992を整数で割り切る数でなければならないことから、nは992の約数でなければならないと言えないか。
88: 1です 2016/05/24(火) 05:26:00.75 id:TlAfaMBP.net
>>86
間違えた。
何かおかしいと思ったらこれだ
×992/n(n+1)=0
○992/n(n+1)=1だった。
87: 1です 2016/05/24(火) 04:26:47.86 id:TlAfaMBP.net
と言うことは高々、約数を把握すれば立方数の差の数がみえてくると言えるかもしれない。
124: １３２人目の素数さん 2016/06/11(土) 23:48:19.11 ID:At/Y0rC4.net
逆数和考えてたら普通に出来た
1/a + 1/b = 1/c
abcが自然数で考えると
a=2(x^2+xy)
b=2(x^2-xy)
c=x^2-y^2
125: １３２人目の素数さん 2016/06/11(土) 23:55:50.39 ID:At/Y0rC4.net
x+y=A
x-y=B
とかおくと
a=A(A+B)
b=B(A+B)
c=AB
でより簡潔になることを書いた後に気づいた
ところで1さんの状況ってどうなってますか？
126: 1です 2016/06/12(日) 04:16:26.10 id:Q4d4R+mc.net
現状は
n^2-m^2=(n+m)(n-m)=2m(n-m)+(n-m)^2=(n+m)^2-2m(n+m)って言う式の関係について調べてた。
作図的に違う表し方になる式が、同じ数になる事に不思議に思ってた。
に加えてn^2-m^2が以上の三つの式に分解できる（纏めると三つは同じ式になるが）過程を調べてた。
分かりやすくいうと因数分解する為にはどうすれば良いのかを探っていた。
n^2-m^2を作図すれば直感的に(n+m)(n-m)を得られる訳だが、これを理屈っぽく変形するにはどうしたらいいのかを探ってる最中。
128: １３２人目の素数さん 2016/06/14(火) 01:54:05.99 ID:7hqdnnLW.net
>>126ｰ127
１日３０分でいいので勉強を毎日続けましょう。
それだけ数学が好きなら苦はなく続けられると思います。
それと「文字式の利用」の学習はやってみたかな？
例えば、偶数と奇数を足すと奇数になる ことの証明を書けるかな？書けるならここに書いてみてほしい。
129: 1です 2016/06/14(火) 19:09:17.32 id:FPqA+Fc5.net
>>128
はい。
文字式の利用って具体的になにやれば良いのかわからかったんですけど、そういうことなんですか。
すみません証明かけないです。
>>126みたいなのも文字式の利用だと思ってました...
130: １３２人目の素数さん 2016/06/14(火) 22:11:25.35 ID:7hqdnnLW.net
>>129
すまないが>>126を読む限りでは、まだまだ1さんは問題演習と理解が足りない。
ただ、数字や文字式に対するその興味や疑問については他の普通の人にはない素晴らしいものがある。
その疑問を自ら解決し、興味を膨らませるためにぜひとも基本を身に付けてほしい。
手元に中学２年の数学の教科書と問題集はあるかな？
131: 1です 2016/06/14(火) 22:40:19.73 id:FPqA+Fc5.net
>>130
はい。
基礎...探したらありました。
基礎は身に付けたいけど読むことがあまり好きじゃないので、気が向いたら読んでみようと思います。
133: １３２人目の素数さん 2016/06/16(木) 02:41:58.17 ID:5ULKdpCp.net
>>131
教科書と問題集があるのなら話は早い
教科書の例題と解説をよく読み、内容を考えながら証明を何度も写してみよう。
教科書を見ずに証明を書けるようになったら、練習問題を解いて、答え合わせをしていこう。
解説があれば解説も読もう。
これをこつこつ続けると理解が深まっていく。わからない所にぶつかったら遠慮なく質問してほしい。
140: 1です 2016/06/26(日) 01:00:26.09 ID:rq+yGCmv.net
見付けた。
3乗、立方数の場合は以下の式で解ける。
n^3-m^3=z
z=abならば
√*3-(b/2)=m
√*4+(b/2)=n
で
(√*5+(b/2))^3-(√*6-(b/2))^3=ab
で解ける。
試しにzを715にして、715を2つの自然数の積での表し方abを715*1とすると
n^3-m^3が大体715になる。
電卓で確かめると0.5くらいずれてるけど気にしない。
142: 1です 2016/06/28(火) 00:46:13.02 ID:69+v8+j8.net
>>140
解けた。修正すると
見付けた。
3乗、立方数の場合は以下の式で解ける。
n^3-m^3=z
z=abならば
√*7-(b/2)=m
√*8+(b/2)=n
で
(√*9+(b/2))^3-(√*10-(b/2))^3=ab
で解ける。
試しにzを715にして、715を2つの自然数の積での表し方abを715*1や143*5にすると
n^3-m^3が715になる。
143: １３２人目の素数さん 2016/06/29(水) 06:05:28.37 ID:g+WCK1WQ.net
>>142
見事だ。
n^3 -m^3 =(n-m)(n^2 +mn +m^2)
と因数分解し、
a=n^2 +mn +m^2
b=n-m
としてn、m(＞０)に対する連立方程式を解くと
m=√((4a-b^2)/12)-b/2
n=√((4a-b^2)/12)+b/2
を得る
これによりある自然数zをz=abと因数分解し、上のm、nの式にa、bを代入すれば、zを立方数の差で表せる
m、nの式をよく導けた。
では次の段階に進もう。
このままではa、b、m、nは自然数に限らず無数に存在してしまう。
m、nを自然数に限定するには、a、bにどのような条件が必要なのだろうか
122: １３２人目の素数さん 2016/06/02(木) 11:42:40.82 id:AKCTt5ua.net
このスレで1000レスに達するまでに、フェルマーの最終定理が解けたら胸熱だなあ・・
参考文献
http://ai.2ch.sc/test/read.cgi/math/1463594522/
*1:p-1)/2)^2=p
素数の二平方数の差の解がこれ。
5: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:37:53.34 ID:9egsCnHM.net
因みに平方数とは整数の二乗数の事な。
7: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:50:23.91 id:pq6ekcxX.net
a^2-b^2=(a-b)(a-b)だからな
奇数なら奇数×奇数、4の倍数なら偶数×偶数を作ればいいだけだしな
で？
8: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 03:55:46.80 ID:9egsCnHM.net
>>7
式も間違ってるし、ちょっと何言ってるのかわからない。
11: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 04:22:23.53 id:FNn0dpSO.net
2n+1=(n+1)^2-n^2
4n=(n+1)^2-(n-1)^2
12: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 04:27:33.78 ID:9egsCnHM.net
>>11
そう。
俺の式の一例になってる。ありがとう。
13: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 04:50:55.87 id:RSqCrM9e.net
4で割ると2余る数は平方数の差では表せない
<証明>
aを任意の非負整数とし、4a+2が平方数の差で表せると仮定すると、m、n(m＞n)を自然数とし
(m^2)-(n^2)=4a+2 と表せる。
両辺を因数分解して
(m+n)(m-n)=2(2a+1)
ここで(m+n)が奇数なら(m-n)も奇数となり、左辺は奇数となるが右辺は偶然なので矛盾
また、(m+n)が偶数なら(m-n)も偶数となり、左辺は4の倍数となるが右辺は4の倍数ではないので矛盾
背理法により命題が示された
14: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 05:01:02.60 ID:9egsCnHM.net
>>13
証明は真似できない馬鹿だけど
約数の偶数と奇数の数が関係ありそうなのは解る。
17: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 07:24:35.08 ID:9egsCnHM.net
キリが良いので自分は去ります。
さようなら。
18: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 09:36:13.92 id:RSqCrM9e.net
>>1は中高生かな？
数をあれこれ計算していじるの楽しいよな
ある法則を見つけた時なんか特に楽しい
また何か見つけたらここに書いてくれい
19: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 09:40:05.89 id:gT8W3H22.net
>>18
優しいから出現する。
ありがとう。また、発見したらきます。またね！
22: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 19:23:16.51 id:zhsgLlF1.net
>>1が間違ってたのに「また発見したら」とはこれいかに
23: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 19:40:02.19 id:dydDBH+e.net
>>22
証明がないだけで間違ってないんだが。
16: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 06:06:13.77 id:RSqCrM9e.net
平方数を小さい方から並べて差をとっていくと、3、5、7、9と奇数の列になっている(証明略)
これを利用すると、異なる平方数の差は、連続する奇数の和として表せる
ここで、連続するa個の奇数の中央値をbとすると、このa個の奇数の和はabと表せて、aとbの偶奇は一致する(証明略)
(このことからも4で割ると2余る数は連続する奇数の和で表せないことがわかり、素数は１パターンのみであることもわかる)
奇数、もしくは4の倍数をab(aとbの偶奇は同じ)の形に因数分解すれば、aとbの片方を連続する奇数の個数、他方を中央値として連続する奇数の和で表せる(ただし連続する奇数のうちの小さいものが負数になる場合は除く)
これを用いれば4で割ると2余る数以外の任意の自然数を平方数の差で、全ての表し方で表せる
34: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 21:49:24.86 id:dydDBH+e.net
>>16
論理的に、もし、この方のやり方に巨大数に対する約数の難のようなものがなければ、素数を把握する簡単な方法があることになるはずですが...どうですか？
巨大数に対しての難しさはその方法にもありますか？
36: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 02:31:35.41 id:v1Suk9vB.net
>>34
すまないが君の主張がわかりにくいのでこちらの想像で補って応えさせてもらう。
>>巨大数に対する約数の難
これが「巨大数を素因数分解することは一般に難しい」ことを意味しているのならこれはその通りである。
>>16は、ある自然数をa×b(aとbの偶奇は同じ)に因数分解できるとすれば、その自然数を平方数の差で表す事ができるという主張で、ある自然数を(巨大な数の時でも)因数分解できるかどうかは別の問題である。
これが望む応えになっていないのなら続いて質問をしてほしい
39: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 05:22:26.76 id:epYMilmJ.net
>>36
はい、素因数分解が難しい事を言ってます。
そのやり方でも因数分解はするんですか。
難しさは同じ...なんでしょうか..
>>37
>>38
のやり方は勉強になります。
知識が浅はかなのでどの事にもはっきり答えられませんが、色々教えていただきありがとうございます。
41: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 12:56:05.97 id:v1Suk9vB.net
>>39
>>そのやり方でも因数分解するんですか
そうです。
>>難しさは同じなんでしょうか
一般に、ある(巨大な)自然数ｎを因数分解をしないで平方数の差で全ての表し方で表すことは、ｎを素因数分解することよりも難しい(計算量が多い)
なぜなら、ｎを素因数分解するには√ｎまでの素数でｎを割ってみればいいが、一方ｎを平方数の差で全ての表し方で表す場合(大雑把に見積もって)ｎの約半分以下の2つの自然数の組み合わせを考えるので(n/2)^2の計算量が必要となるからである。
ものすごく大雑把に例えれば、10001という自然数が与えられた時、素因数分解するには多くて100回の計算が必要
平方数の差で全ての表し方で表す場合には、多くて25000000回の計算が必要となる。
ただし、平方数の差で全ての表し方で表す場合に、もっと楽な画期的な計算方法が見つかれば計算量は少なくなるかもしれない。
42: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 14:35:37.96 ID:9xAbPZyn.net
>>41
ほんと.。そうなのか。
54: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 22:08:04.38 id:v1Suk9vB.net
>>42
納得しきれないのなら自分で10001を平方数の差で表せるか確かめてみるとよい。
自分で確かめることにより理解が深まり考察の練習にもなる。
(n+1)^2 - n^2 = 2n+1
の式にn=5000を代入することにより
5001^2 - 5000^2 = 10001
はすぐに求められる
5001以下の自然数の中から２つを選びそれらの平方の差が10001になるか確かめてみよう。
２つの自然数を選ぶ時に、闇雲に選ぶのではなく整理して順番に調べていくと法則性を見つけやすくなり、余計な計算をしなくて済むかもしれない。
55: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 22:39:09.22 id:wbsDdL8U.net
10001/4=0.5*0.5*73*137
105^2-32^2=10001
なのは解るけど
>>54
関数電卓使うけど、5000から試していってます。
平方数の差の数のそれぞれのズレかたを調べてみろって事ですね。
やってみます。
26: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 20:03:27.88 id:dydDBH+e.net
約数の組合わせより
6=0.5*0.5*2*3なので
総組合わせを二つに分けて
3.5^2-2.5^2
2.5^2-0.5^2
6.25^2-5.75^2
とかも解になることが解る。
32: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 20:30:47.55 id:gQ9DxHzy.net
>>26
ちょっと訳がワカランクなってるから書き直すと
約数の組合わせより
6/4=0.5*0.5*2*3なので
二つの取りつくし組合わせに分けて足して引いて
3.5^2-2.5^2
2.5^2-0.5^2
6.25^2-5.75^2
とかも解になることが解る。
27: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 20:04:59.39 id:dydDBH+e.net
みすった。
6=0.5*0.5*2*3*2*2だった。
間違えた。今のなしで書き直す
30: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 20:10:26.87 id:dydDBH+e.net
>>27
6/4=0.5*0.5*2*3だ。
33: １３２人目の素数さん 2016/05/19(木) 21:33:32.43 id:c3oAWwgp.net
この式の汚点は約数を把握しなければならないので、素数の倍数を把握しなければならないことになり、巨大数を二つの平方数の差で表す事が難しくなること。
37: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 02:48:46.18 id:v1Suk9vB.net
任意の自然数は２つの有理数の平方の差で表せ、その表し方は無数にある。
<証明>
a、bを有理数(a≧b)とすると任意の自然数はabと表せ、aとbの組み合わせは無数にある
x、yを有理数とし
x+y=a
x-y=b
とするとこの連立方程式をx、yについて解いて
x=(a+b)/2
y=(a-b)/2
となる
ab=(x+y)(x-y)=(x^2)-(y^2)
でありこれに上のxとyを代入すれば、任意の自然数を２つの有理数の平方の差で表す式が導ける。
aとbの組み合わせは無数にあるのでこの表し方も無数にある。
38: １３２人目の素数さん 2016/05/20(金) 02:57:35.82 id:v1Suk9vB.net
例えば
6=18×(1/3)
とすれば
x=(18+(1/3
*2:715-121)/22+11)^2-(715-121/22)^=715
38^2-27^2=715
が始まりで(a+b)^2-(a-b)^2=4abを導いたなーって眺めてのと
立法数、４乗数を1から順に6まで並べて眺めてた。のと
立法体の中に小さい立法体が入っている図を作図したのと
平方数のやり方を真似てみて
(a+b)^3-(a-b)^3=6ba^2+2b^3
になるけど、2b^3さえなければ上手くいく式だったのになーって考えてた事くらい。
次の勉強は
平方数が1.3.5.7.9.11.13.15
といった奇数の和で成り立っていることが立法数にも言えないか探るのと、平方数の際に使う2n+1+2n+3...
の和が二つの平方数の差になっている事が立法数にも言えないか探ることかな。
80: １３２人目の素数さん 2016/05/23(月) 02:58:12.13 id:Rr6n9p83.net
>>76、78、79はn乗の差の話を持ち出した人で、素因数分解について疑問を持った人とは別の人かな？
いずれにせよ>>78、79に応える。
まず誤字
×立法数○立方数
いろいろな角度から問題を眺める事はとてもいい事だ。新たな発見やアイデアが見つかるかもしれない。
(a+b)^3 - (a-b)^3
=6ba^2 + 3b^3
=3b(2a^2 + b^2)
と因数分解してみてはどうだろうか
あるいは
x^3 - y^3 =(x-y)(x^2 + xy + y^2)
の因数分解から始めるのもいいかもしれない。
それから、｢となり合う平方数の差｣や｢となり合う立方数の差｣を文字式を使って表してみると法則性がわかる。
このあたりの発想や概念は中２の｢文字式の利用｣の単元を復習しよう。
教科書や問題集があればそれをやるといいし、なければネット上に問題や解説が豊富にある。
簡単な問題を繰り返し解く(証明を自分の力で書く)ことによって、どんな場面で文字式が役立つのかわかり、論証のゴールに向かってどう進めればよいかの思考の練習になる。
>>79の後半についてはすまないが理解できなかった。
「ある整数を自然数のｎの差で表す」際に複素数まで因数分解を試みるのか、それとも問題を「ある整数を複素数のｎ乗の差で表す」ことに拡張したいのか、それ以外か。
最後の式は(括弧が抜けているが補うとして)上の｢となり合う立方数の差｣の法則性から導けるが、なぜその式に至ったのか書いてくれると応えられる。
81: １３２人目の素数さん 2016/05/23(月) 21:03:43.42 id:u5lIpjNF.net
>>80
読みました。
ちょっと精神が滅入ってるので返事は控えます。
とりあえず、
(n+1)-n^3=3n(n+1)+1
又は
(n+m)^3-n^3=3nm(n+m)+m^3
の、式を使って解いていこうと考えてます。
方針は決めてるんですが、体力があまり無いので、一日一日に小分けして勉強するので、報告が遅れます。すみません。
82: １３２人目の素数さん 2016/05/23(月) 22:15:29.92 id:Rr6n9p83.net
>>81
無理をせず、自分のペースで勉強を進めたらよい。
報告が遅れるのはかまわない。
84: 1です 2016/05/23(月) 22:50:13.61 id:joKNJRPe.net
1の差の立方数の場合
(n+1)^3-n^3より
ある自然数zが1の差の立法数の差で表すには、その自然数zから1を引いて3で割った数が((z-1)/3)が1の差の2つの自然数の掛け算で表せれるなら、((z-1)/3)/(n(n+1
*3:b/2)-((b^2-a)/3
*4:b/2)-((b^2-a)/3
*5:b/2)-((b^2-a)/3
*6:b/2)-((b^2-a)/3
*7:b/2)^2-((b^2-a)/3
*8:b/2)^2-((b^2-a)/3
*9:b/2)^2-((b^2-a)/3
*10:b/2)^2-((b^2-a)/3
