星塚研究所

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素数が無限に存在する証明

1: 132人目の素数さん 2012/08/09 12:45:23
ユークリッド的な証明では最後の素数 p があると仮定して
p 以下の素数の積に 1 を加えた q = 2・3・・・p + 1 が素数だから矛盾だという.
しかし,これに文句を言うやつがいる.q は素数か,p より大な素数で割りきれるかだと.
しかし,私に言わせればこれらは両方だめだ.
正解は「q は p より大きいので合成数だが,どの素数でも割りきれないので矛盾」である.

4: 132人目の素数さん 2012/08/09 12:56:40
なんでスレ立てたの?
ほめてもらいたかったの?
13: 132人目の素数さん 2012/08/10 02:20:28
背理法使わないで>>1の証明ってできるの?

背理法嫌いだーって人たちいるでしょ?
20: 132人目の素数さん 2012/08/10 17:28:45
>>13
1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/n+...
=(1+1/2+1/4+1/8+...)*(1+1/3+1/9+1/27+...)*(1+1/5+1/25+1/125+...)*...*(1+1/p+1/p^2+1/p^3+...)*...
={1/(1-1/2)} * {1/(1-1/3)} * {1/(1-1/5)} *....* {1/(1-1/p)} *...
=(2/1)*(3/2)*(5/4)*...*(p/(p-1))*...
一行目は発散する量なので、最終行も発散する。つまり、素数は無限にある
23: 132人目の素数さん 2012/08/10 22:59:25
>>20
これって背理法は使ってないの?
26: 132人目の素数さん 2012/08/11 02:04:48
>>13
ユークリッドのオリジナルの証明は背理法を使っていない。有限個の素数を集めれば、それ以外に必ず素数が見つかるという、いわば素数生成のアルゴリズムを示している。
その手の背理法を使わない、素数をいくらでも見つけられるという方法による「素数が無限に存在することの証明」もいくつか知られている。

15: 132人目の素数さん 2012/08/10 02:24:54
任意の素数pに対して、pよりも大きい素数を(そのような素数が存在するという仮定を使わずに)具体的に構成できたら、世紀の大発見です
17: 132人目の素数さん 2012/08/10 02:47:51
勢いで>>15を書いたけど、構成的な証明はあるみたいね
任意の自然数nに対して、nより大きい素数が存在すること

n!+1が素数ならば、それでよし
n!+1が素数でないならば、n!+1の、1でない正の約数のうち最小のものは素数である
しかもこれはnより大きい(n以下の数でn!+1を割った余りは1)
27: 132人目の素数さん 2012/08/11 02:07:11
って>>17にもあったか。
そもそもユークリッドの時代にはいわゆる実無限の概念は一般的ではないため、可能無限的な証明にならざるを得ない。
25: 132人目の素数さん 2012/08/11 02:00:37
>>15
素数列の漸化式ならつまらないものがたくさんある。まあたいてい2以上の自然数nと2nの間に素数が存在することは利用してるけどね。
32: 132人目の素数さん 2012/08/12 01:13:01
>>25
チェビシェフの定理の証明には素数が無限にあることは使っていない

36: 132人目の素数さん 2012/10/08 08:00:02
素数が有限だったらそれ以上の数はどれかの素数合成数なので、その素数のどれかでかならず割れる。
全部の素数をかけていちたすとどの素数でも割れない。
37: 132人目の素数さん 2012/10/08 08:33:02
2,3,7,43,43^2+43,...
q(q+1)(q(q+1)+1)(q(q+1)(q(q+1)+1)+1)...
38: 132人目の素数さん 2012/10/08 09:19:48
>>37
ケアレスミスがあるけどそれはどうでもいいとして、
そのやり方は互いに素な多項式が無限個あることの証明の副産物だね。
42: 132人目の素数さん 2012/12/10 20:39:35
素数の集合について考える
 命題:最大の素数は存在する
 対偶:存在しないのは、「最大の素数」でない素数
  2、3、5、7、11・・・・など「最大の素数」でない素数は存在する。
  したがって、対偶は偽。命題も偽。「最大の素数」というものは、存在しない。
  すべての素数は、「最大でない素数」である。
 結論:素数は無限に存在する。

上の文章の「素数」という語を、例えば「双子素数」や「完全数」という言葉にに置き換える。
さらに、最大でない双子素数(3と5、5と7など)や最大でない完全数(6や28など)を示す。
すると、「双子素数は無限に存在する」と「完全数は無限に存在する」が証明できる。
43: 132人目の素数さん 2012/12/10 20:59:16
空集合でない。「4の約数」「100以下の偶数」のように区間・範囲も限定しない。
つまり、自然数全体を対象とした「○○の集合」について考える
 命題A:最大の○○が存在する
 対偶A:存在しないのは、最大でない○○
  もし命題が真なら、「最大の○○」が1個だけ存在する。例、偶素数の集合。
  もし命題が偽なら、「最大でない○○」が無限個存在する。例、素数の集合。

 命題B:最大の○○、最大でない○○が存在する
 対偶B:存在しないのは、「最大の○○」でない○○、「最大でない○○」でない○○
     =存在しないのは、最大でない○○、最大の○○
  真だと仮定すると矛盾が生じるので偽。「最大」と「最大でない」が共に存在する、
  または共に存在しない、どちらもありえない。常に一方だけが存在する。
以下、  命題Aと同じ。

結論:2個(または2組)存在するなら、それは無限個(無限組)存在する。
45: 132人目の素数さん 2012/12/11 00:46:13
>>42
命題 Pが素数集合であるなら、∃p_max∈P ≧ ∀p∈P が成り立つ。
対偶 ∃p_max∈P ≧ ∀p∈P が成り立たないなら、Pは素数集合ではない。

対偶法を使う意味は無さそう。

44: 132人目の素数さん 2012/12/10 23:48:26
最大の素数p_maxが存在すると仮定する。
x=p_1×p_2×・・・×p_max+1と置くと、xは1とx以外では割り切れないので素数であり、かつx>p_maxであるから、仮定と矛盾する。
よって最大の素数は存在しない。
48: 132人目の素数さん 2013/04/06 20:53:41
>>44
それって>>1とどこが違うの?
49: 132人目の素数さん 2013/07/13 07:43:24
素数が無限にあると仮定すると
そっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっすうそっす・・・

仮定は嘘っすということで
背理法により素数は有限個しかないことになってしまう。

51: カンカンガクガク 2013/12/04 22:01:53
背理法である事をひとまず忘れて、最後の素数pが存在する(素数は有限個しかない)為の条件を導き出したら、矛盾する結果となるから、「素数は無限に存在する」という結論が得られる、と考えればどうでしょうか?
52: 132人目の素数さん 2013/12/04 23:28:52
それを背理法と云う
53: 132人目の素数さん 2013/12/06 01:29:03
ユークリッドのオリジナル証明は背理法じゃなく当時らしい可能無限性を示したもの。
55: 132人目の素数さん 2013/12/06 11:49:26
>>53
ルート2が無理数の証明はどうだったっけ?
54: 132人目の素数さん 2013/12/06 02:53:41
背理法が嫌いな人もいるからな。
56: 132人目の素数さん 2013/12/06 12:17:20
無理数の定義が「有理数ではない」だから、pと仮定すると矛盾だからpでない、という否定導入則は必要。しかし、pでないと仮定すると矛盾だからpが成り立つ、という本来の背理法は必要ない。
58: 132人目の素数さん 2013/12/07 16:24:29
>>56
pとqの二者があって二者のみ存在するとき、pでないと仮定して矛盾が生じれば、「qである」と結論する(できる)、というのが背理法、ではないでしょうか?
59: 132人目の素数さん 2013/12/07 16:58:20
否定導入則の特殊な場合としてそれも含まれるという意味ならその通り。その場合はq=¬pだから。
60: 132人目の素数さん 2013/12/07 18:25:18
そか。
二重否定の除去が要らないんだね。
61: 132人目の素数さん 2013/12/07 18:30:24
pでないと仮定して矛盾が生じれば、「pである」だろw
62: 132人目の素数さん 2013/12/07 18:33:29
二者のみである必要は無い
何でもいいからある仮定をして矛盾が導かれれば、その仮定が誤りと言える
63: 132人目の素数さん 2013/12/07 18:40:59
否定導入則なら直観主義でも成立するが、背理法直観主義では成立せず、古典論理で成り立つ。

64: 133人目の素数さん 2013/12/15 19:17:58
つまらない質問で恐縮なんですけど、
素数素数を掛けて1を足したものは必ず素数になると聞いたんですが、それは本当ですか?
65: 132人目の素数さん 2013/12/15 21:31:45
3*5+1=16
66: 132人目の素数さん 2013/12/15 23:14:39
その命題が真なら、いくらでも巨大素数を生成できるだろ
67: 132人目の素数さん 2013/12/15 23:54:45
単に素数だけを生成する式ならいくらでもある。実用的じゃないけど。
68: 132人目の素数さん 2013/12/16 22:52:18
>>64
ちょっと違う。
素数に、その素数未満の全ての素数を掛けて+1。
3x2+1=7
5x3x2+1=31
7x5x3x2+1=211
73: 132人目の素数さん 2013/12/18 01:25:47
>>64
それは間違い。
ただし、素数が有限個であると仮定した場合
それらの素数を全て掛け合わせて1足した数は、どの素数でも割りきれないから素数になる

と同時に、最初に仮定した有限個の素数の何れとも等しくないから素数ではないとも言える
これは矛盾だから、最初の仮定は偽である
というのが背理法での証明の流れ


背理法の証明中に出てくる命題は実際には真とも偽ともなりうるから注意が必要になる
背理法嫌いで有名な某教授も、これが嫌だから背理法は嫌いみたい

74: 132人目の素数さん 2013/12/18 18:57:08
最初の仮定が矛盾するから背理法なのか・・・・
対偶とか背理法とか難しいな。
75: 132人目の素数さん 2013/12/18 20:01:44
だからかユークリッド背理法は使ってないんだよな。
76: 132人目の素数さん 2013/12/21 16:38:25
背理法で証明した場合
証明中に出てくる論証は正しいこともあるし、正しくないこともある
それを確かめる為には、別途に証明が必要になる

対偶で証明した場合
証明中で出てくる論証は正しいことがいえる

79: 132人目の素数さん 2013/12/22 16:53:24
Aが偽の時、Bが真であっても偽であってもA⇒Bは真になる
つまり、偽の前提からは真の命題も偽の命題も導かれてしまう

背理法でPを証明する時、¬Pという偽の命題を仮定しているから
そこから導かれる命題は真にも偽にもなりえてしまう
80: 132人目の素数さん 2013/12/22 17:56:39
んで素数は本当に無限に存在するの?
81: 132人目の素数さん 2013/12/22 18:56:29
無限じゃないなら何個?
82: 132人目の素数さん 2013/12/22 19:46:41
何個あるかわからんから、皆無限個あると思ってるだけ。
86: 132人目の素数さん 2013/12/22 21:34:20
>>82
じゃあ、自然数は全部で何個あると思う?自然数というのは1, 2, 3, 4, 5, ...と続いていく数のこと。

仮に自然数が全部で10個だとすると、自然数は次のものだけということになる。
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
でも、これはおかしい。なぜなら、10に1を加えた11は自然数。それなのに、上のリストに含まれていない。
つまり、自然数が10個だと言うことはできない。

では、自然数が全部で10000個だとするとどうか?このとき、自然数は次のものだけということになる。
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 9998, 9999, 10000.
でも、これはおかしい。なぜなら、10000に1を加えた10001は自然数。それなのに、上のリストに含まれていない。
つまり、自然数が10000個だと言うこともできない。

一般に、自然数が全部でN個だと仮定すると、自然数の全体は
  1, 2, 3, ..., N-2, N-1, N
と表される。しかし、Nに1を加えたN+1は自然数であるのに、上のリストに含まれていない。

つまり、「自然数は全部で△△個だ」と仮定すると、どうしても矛盾が生じてしまうことになる。
このような性質を持つものに対して、我々は”無限個”という呼び方を与えた。
したがって、「自然数は何個あるかわからんから、皆無限個あると思ってる」のではなく、ハッキリと「自然数は”無限個”存在する」ということができる。

素数は”無限個”存在する」というのも、これと似たような考察によって導かれるのであって、間違っても「何個あるかわからん」から誤魔化しているわけではない。

87: 132人目の素数さん 2013/12/22 21:53:09
仮に自然数が全部で10個だとすると、自然数は次のものだけということになる。
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
だから10に1を加えた11は自然数ではない。衝撃の事実。
88: 132人目の素数さん 2013/12/22 22:12:48
>>87
もしそうしたいのであれば、自然数が全部で10個しかない体系を作って、そこで好きなようにやってて下さいというのが、普通の数学の立場。

その体系の中では、みんなお金は10円までしか持てない。だってそれ以上あっても数えられないから。
日付を1月1日から1月10日まで数えられたとしても、その後は分からない。
もちろん、年齢も10歳から先は数えられない。
そうなると、「18禁」というような概念が意味を成さなくなる。
それに代わるものを考えようとしても、10までしか数えられない以上は「10禁」にするしかない。
だから、日本では10歳になれば酒もタバコも自由だし、結婚もできる。仮にいかがわしいビデオに出演したとしても咎められない。
……ある意味幸せかもね
93: 132人目の素数さん 2013/12/25 01:43:31
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すでに広く知られている証明をどや顔で記入するバカ
またはくそつまらないネタをどや顔で記入するバカ

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95: 132人目の素数さん 2013/12/25 23:18:51
>>93
生温かく見守れ


参考文献

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1344483923/