なぜ無理数のeやπは様々な性質を持つの？
1: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 00:46:39.19 id:siseiZTP.net
無理数なんて他にも沢山あるのに、なぜこの二つだけ登場回数が多いのか？
2: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 00:58:15.17 id:UVFj5Xt+.net
すごいよね
πもすごいけど、微分されてもい積分されても全く動じないeはマジですごいと思う
3: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:07:53.93 id:PdSVbhZH.net
最初は図形で出てきたのに、統計学で出てくるπも凄いね
4: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:09:40.70 id:guFDMZ6h.net
使われる頻度が多いから。
人間は三角関数とか指数関数をよく使うだろ？だからeとかπとかの性質が多く発見されてる。
5: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:15:23.06 id:KBBtU0PY.net
実はπやe以外にもそういう存在があるのか？
あるいは人間がそのように数学を作ったからそういう存在が見いだされてるだけなのか
今の数学体系はこの世界の仕組みから導かれる必然なのか、人間がたまたま作った偶然の結果なのか
人間ではない他の知的生命体が数学のようなものを作ったら、全く別のものが出来上がる可能性はあるのか気になった
6: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:27:06.90 id:KBBtU0PY.net
数学って幾何から生まれた部分と、ものの個数とかを数えるところから発展してきたはずだから、この世界の仕組みが変わらなければ誰がやっても大体同じような数学体系になるのかな
7: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 01:49:43.93 id:CbhPHWeI.net
√2
8: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 10:16:20.83 ID:6LGLLZZ9.net
eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
解析的にも幾何学的にもか。
9: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 12:49:22.89 ID:+0GlWUcR.net
＞eとπとiが代数的に独立じゃないことを主張するのが例のオイラーの公式。
何言ってんの
10: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 19:40:16.87 id:cQDY2WAM.net
e+πが無理数かどうかすらわかってないのにな
（e+π, e*πのいずれかは無理数）
21: １３２人目の素数さん 2018/11/21(水) 15:47:33.03 id:Se83NkLA.net
>>19
π - e = 69/163
>>10
(e+π) + e^π = 29.00056711482810748
円周率について語り合おう【π】 - 202, 216, 217, 218にもあるyo.
11: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 22:01:34.49 id:UVFj5Xt+.net
ちょっと脇道にそれるけど、無理数と有理数の個数(?)の比ってわかってるんだっけ
12: １３２人目の素数さん 2018/11/19(月) 22:41:04.08 id:Us25DtOZ.net
無理数の方が圧倒的に多い
24: １３２人目の素数さん 2018/11/22(木) 04:20:45.77 id:X48rsjn3.net
個数の比って∞じゃないの？
有理数の存在確率？は0でしょ
32: １３２人目の素数さん 2018/11/23(金) 17:41:23.77 id:vTYG9pAl.net
>>24
例えば数直線上の実数を0から一個ずつ数えながら比を計算していけば、その無限遠までの比は、ある値に収束する可能性が微レ存じゃないの
33: １３２人目の素数さん 2018/11/23(金) 22:17:54.81 ID:CR/rkH54.net
>>32
自分が何を言ってるか数学の言葉で書いてみ
34: １３２人目の素数さん 2018/11/23(金) 23:30:05.06 id:vTYG9pAl.net
>>33
伝わるかわからないけど、
有理数なら1、無理数なら0を返す関数yuri(x)
無理数なら1、有理数なら0を返す関数muri(x)
を定義できたとして、
lim[a→∞] {∫[-a～+a] yuri(x)dx / ∫[-a～+a] muri(x)dx }
を求める的なイメージ
muri(x) = 1 - yuri(x)
で定義してもいいけど
35: １３２人目の素数さん 2018/11/24(土) 00:30:30.28 ID:/XW9nn0/.net
その関数yuriは一般的にディリクレ関数と呼ばれています
リーマン積分不可能(かつルベーグ積分可能)な関数の典型例としてよく知られています
36: 34 2018/11/24(土) 01:20:35.64 id:nmSRGP0J.net
>>35
ディリクレ関数というのがあるのか～
ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと？？
だとしたら有理数は存在しているのに存在してないみたいな変な話になるな
謎すぎる
ディリクレ関数の定義と有名な３つの性質
37: 34 2018/11/24(土) 01:31:52.14 id:nmSRGP0J.net
おれが思いつくことなんて、やっぱり先代の方々がすでに同じようなこと考えてすでに検討済みなんだな
失礼しました
13: １３２人目の素数さん 2018/11/20(火) 00:28:50.08 id:vn8Rd3zq.net
eとπの超対称性不等式
(e + π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),
14: １３２人目の素数さん 2018/11/20(火) 01:12:33.73 id:vn8Rd3zq.net
eとπの超対称性不等式
13(e+π+π)/3 + (eππ)^(1/3) = (13+1)･3 = 42,
26: １３２人目の素数さん 2018/11/22(木) 13:33:01.59 id:C9lyMD48.net
>>14
6桁しか合わねーじゃん
17: １３２人目の素数さん 2018/11/20(火) 17:27:25.61 id:vn8Rd3zq.net
>>13>>14
(e+π+π)/3 = 3.000489045212877
(eππ)^(1/3) = 2.993629678783071
e^π -π = 19.999099979189475767
e^6 -π^5 -π^4 = 0.0000176734512321
44: １３２人目の素数さん 2018/11/26(月) 04:31:29.96 id:JAq6ovHt.net
>>17
e^6 - π^5 - π^4 = 0.0000176734512321092
π^9 / e^8 = 9.9998387978
P.Stanbury: Math. Gazette, ６８, p.222 (1984)
51: １３２人目の素数さん 2018/11/27(火) 13:40:01.72 id:QMhuYErk.net
>>17>>44
e^6 - π^5 - π^4 - {π^(-4) - π^(-5)} e^(-6) = 0.000000326601615742
(π +2 +1/π) / e^4 = 0.100001603286
52: １３２人目の素数さん 2018/11/28(水) 11:57:32.81 id:gsXNT+S8.net
>>51
e^6 - π^5 - π^4 - {1/(π^4 + π^3 +π^2 +π^0 +1)} e^(-6) = 0.000000004044885
18: １３２人目の素数さん 2018/11/20(火) 22:37:44.55 id:Yxiiwnov.net
>>13
なんでπだけ2回使ってんの？
19: １３２人目の素数さん 2018/11/20(火) 23:07:01.88 id:vn8Rd3zq.net
>>18
e ≒ 19/7 = 3 - 2/7 = 2.7142857…
π ≒ 22/7 = 3 + 1/7 = 3.142857…
らしいです。
20: １３２人目の素数さん 2018/11/21(水) 10:21:56.10 id:rtFhNBMZ.net
>>19
これは良情報だ
サンクス
28: １３２人目の素数さん 2018/11/22(木) 15:27:20.44 ID:x/Au2Ugh.net
>>13>>14
G = (eππ)^{1/3} = ３ － 1/(50π),
38: １３２人目の素数さん 2018/11/24(土) 01:37:25.84 id:mE8EJetP.net
e^π と π^e はどちらが大きいか…
電卓なら直ぐ計算できるが、大学入試問題での証明例を見たが、取って付けた様な証明でなんとも。
39: １３２人目の素数さん 2018/11/24(土) 16:22:00.86 id:Pu2mqvtw.net
π^eとe^πの対数とって
→e log πとπ log e のどっちが大きいか
→log π/πとlog e/e のどっちが大きいか
→ f(x)=log x/x の増減を見よう
自然な考え方だね
41: １３２人目の素数さん 2018/11/24(土) 17:54:22.93 id:JnslRd6o.net
実数はほとんどすべて無理数なのに、代表的な無理数がeやπくらいしかないのはどうしてなの？
42: １３２人目の素数さん 2018/11/24(土) 18:44:45.45 id:Pu2mqvtw.net
>>41
log 2とかΓ(1/3)とか楕円積分とか他にも色々あるが、君が知らないだけ
50: １３２人目の素数さん 2018/11/27(火) 08:48:35.17 ID:0/PgGjmk.net
>>41
むしろ有理数か無理数かすらわからない数が多い。オイラーの定数γとか。
ひとつでも解決したら画期的だよ。
46: １３２人目の素数さん 2018/11/26(月) 14:24:40.26 id:D7Y0uoaM.net
人が認識できるものは可算個しかない
47: １３２人目の素数さん 2018/11/26(月) 21:47:34.78 ID:4m2vyH8D.net
まあニューロンが有限個しかないからな
60: １３２人目の素数さん 2018/12/04(火) 00:53:21.94 id:ZnXuorTA.net
πが円由来なのではなくて、本質は円とは関係ない説を推したい
63: １３２人目の素数さん 2018/12/06(木) 03:48:53.99 ID:9xq/7gl/.net
P = ln(640320^3 + 744)/√163
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n･e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数 200100 と一致するが、整数ではない。
M>>1とすると、
Q = ln(10)･( (1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと(πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017
67: １３２人目の素数さん 2018/12/08(土) 15:07:45.95 id:AidR8gU3.net
>>63
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。
68: １３２人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:22:43.02 id:ujqHMvBG.net
なぜ円周率を半径ではなく直径との比にしたのか？
69: １３２人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:26:39.31 ID:8K9QBuOK.net
オイラーの公式がちょっと汚くなるから
70: １３２人目の素数さん 2018/12/09(日) 14:51:25.64 id:ujqHMvBG.net
exp(iπ)=1
のほうがキレイじゃないですか？
79: １３２人目の素数さん 2019/01/01(火) 00:19:03.45 id:YSG5zgjs.net
>>70
e^iπ+1=0
この形式が最も美しい
今の円周率の決め方で良かったわ
81: １３２人目の素数さん 2019/01/02(水) 19:46:03.94 ID:8snOOIeo.net
>>79
おれもこの式が美しいと思う
何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが
80: １３２人目の素数さん 2019/01/02(水) 12:56:24.14 id:nWa9TZGa.net
ほんと汚い式だな
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ
82: １３２人目の素数さん 2019/01/02(水) 20:03:30.17 id:wALONkQI.net
なにこのとってつけたような＋１は･･･
というのが大抵の反応
美しくもなんともない
83: １３２人目の素数さん 2019/01/02(水) 20:13:06.83 ID:8snOOIeo.net
演算的にも和・積・累乗と揃う
数学で5つの最も重要な数が揃う
まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな
77: １３２人目の素数さん 2018/12/15(土) 10:06:19.02 ID:G/Zv1nOc.net
π+eとπ-eの少なくとも一つは超越数である
78: １３２人目の素数さん 2018/12/22(土) 08:31:22.77 id:NJVGeWbg.net
1+1/(3+1/(5+1/(7+1/(9+…)))) = (e^2+1)/(e^2-1)
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π
85: １３２人目の素数さん 2019/01/04(金) 08:08:22.26 id:MI5EF/Qj.net
＞なぜeやπは…
γを忘れないでｗ
86: １３２人目の素数さん 2019/01/04(金) 09:58:59.97 id:TmNXRDeL.net
e,πに比べると極端に出てくる場面が少ないから仕方ない
参考文献
