星塚研究所

数学を主とした形式科学,自然科学,大学・大学院に関する2chと5chのまとめサイト

「素数」は2000年以上も未解明

1: しじみ ★ 2020/06/07(日) 00:51:57.57 id:CAP_USER
■「最も重要な」数とは?

 

 あなたの誕生日の日付けにはどんな特徴があるだろうか? 仮に7月16日だとすると、「16」は偶数であり、4の倍数であり、2の4乗であり、4の2乗である。では一方の「7」はどうだろう? ラッキーセブンと言うから、なんとなく縁起のいい数のようには感じるものの、目立った特徴はないと思うかもしれない。しかし、7は「1と自分自身以外では割り切れない」という特徴がある。こういう特徴を持つ2以上の整数のことを素数という。

 

 「6=2×3」のように、素数以外の数は必ず素数の積(掛け合わせた数)で表せる。これを素因数分解といい、素数は文字通り数の素である。素数は英語ではprime numberである。primeは「最も重要な」「最高位の」などの意味を持つことからもわかるように、素数は、あらゆる数の中で最も重要な数だと言っても過言ではないだろう。

 

 それほど重要な数でありながら、小さい順に素数を探していくと、その表れ方はランダムに見える。

 

 素数についての研究は2000年以上前の古代ギリシャの時代から始まっており、現在も盛んに研究されているのだが、中でも素数の分布(表れ方)に規則性があるのかどうかについては、多くの数学者が関心を持っている。

 

■100万ドルの懸賞金のかかった証明

 

 素数の分布に関する法則としては「リーマン予想」と呼ばれるものが有名だ。1859年にドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1826~1866)によって提唱された。その予想の具体的な内容は大変難しいのでここでは割愛するが、もしこれが正しければ、一見ランダムに見える素数のすべてに共通する秩序があることになる。リーマン予想の証明は現在も未解決であり、アメリカのクレイ数学研究所によって100万ドルの懸賞金がかけられている。

 

 リーマン予想と同じく、これまでに例外は見つかっていないものの、正しいことが証明されていない素数に関する「法則」がある。それは「4以上の偶数はすべて、2つの素数の足し算で表せる」というものだ。確かに、

 

4=2+2、6=3+3、8=3+5、10=3+7、12=5+7、
14=3+11、16=3+13、18=5+13、……
となる。

 

 もっと大きな偶数についても同様である。よかったらぜひいろいろな偶数で試してみてほしい。近年では、400京(1京は1兆の10000倍)までの数について、4以上の偶数はすべて素数の和(足し算)で表せることがわかっている。

 

 これは、18世紀のプロイセン公国(現在のドイツ北東部周辺に存在した国)の数学者クリスティアンゴールドバッハ(1690~1764)によって提唱されたので、ゴールドバッハ予想と呼ばれている。しかし今まで、ゴールドバッハの予想が正しいと証明できた者は誰もいない(反対に間違っていることを証明できた者もいない)。

 

 他にも、11と13のように連続する2つの奇数が素数であるとき、それらを双子素数と言うが、双子素数が無限に存在するかどうかもまだわかっていない。

 

 素数はすべての数の素であるのに、多くの性質が闇に包まれている。ドイツのレオポルト・クロネッカーは「整数は神が作ったもの」と言ったが、私は素数こそ神が作った数であり、神は宇宙の全知性に対して、素数という数を通して謎掛けを楽しんでいるような気がしてならない。そして、もしかしたらこの広い宇宙のどこかには、人類より先にその謎解きに成功した者がいるかもしれない。そんな想像もまた楽しい。

 

(中略)

 

■巨大素数を探せ!

 

古代ギリシャの時代に、ユークリッド(紀元前300年頃?)によって素数は無限に大きくなり得ることが証明されているのだが、実際に大きな素数を見つけることの難しさは、歴史をひも解いてみるとよくわかる。中でも1588年にピエトロ・カタルディ(1548~1626)の手によって見つかった6桁の素数(524287)が「実際に発見された最大素数」の座に君臨した時期は長かった。

 

 1732年に当時25歳のレオンハルト・オイラーの手によってさらに大きな7桁の素数が見つかるまで、実に144年もの年月がかかっている。ちなみにオイラーはその40年後に10桁の素数も見つけている。そして1876年にはエドゥアール・リュカ(1842~1891)が39桁の素数を見つけているが、これは手計算によって発見された最も大きな素数である。

 

 2019年8月時点で、実際に見つかっている最も大きな素数は約2480万桁のとてつもなく大きな数であり、GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search)と呼ばれるコンピュータプロジェクトによって2018年に発見された。


4: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 01:10:52.54 id:JLYONwGp
以下の部分は必要ない
「あなたの誕生日の日付けにはどんな特徴があるだろうか?
仮に7月16日だとすると、「16」は偶数であり、4の倍数であり、2の4乗であり、4の2乗である。
では一方の「7」はどうだろう? ラッキーセブンと言うから、なんとなく縁起のいい数のようには感じるものの、目立った特徴はないと思うかもしれない。
しかし、」



5: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 01:18:22.85 ID:Kh+d5DXM
>>4
素数以外の数の特徴を例として挙げたかったんだろうよ。
素数ばかりが重要じゃないかもしれないってさ。



8: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 01:47:52.97 id:E1COBtqh
>>1
あれ?「1」って素数じゃなかったの?



9: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 01:47:55.26 id:l0wMhZSj
素数は揺れ
波打ってる状態の事
偶数は静止してる



10: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 01:58:11.24 id:E1COBtqh
重要な数じゃなく協調性のない数とか命名しておけば良かったのにw

他のあらゆる波と共鳴しない孤立した波だわな

ゴールドバッハ予想って知らなかった。こっちの方が理解しやすくて強烈だ。
すべての偶数が素数を従えているって思うと、やべーなw



11: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 02:01:44.30 id:RsvVHGfw
素数の組み合わせで誕生日になってしまうことに初めて気付いた



15: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 02:56:49.78 ID:Bv/smEvL
素数を特別な数だと思うのが間違ってる



18: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 03:30:30.53 id:kPvLxAkW
>>15
特別な数だよ



16: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 03:01:46.73 ID:/Nv763Ci
記事の表現がわかり難いなw



20: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 03:35:03.00 id:njuOslIB
巡回リーマン問題



22: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 05:47:16.89 id:jlC+W71q
ウラムの素数螺旋とか眺めてると
やっぱり未知の何か凄い法則が
眠ってそうな気がする



25: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 07:09:55.34 id:g8NMMWL0
>>1
有史以来、科学者たちはシンプルな秩序を求めたがるけど
地球は球でなくその軌道は楕円だったし
惑星は5つでもなくその軌道に規則性もなく
最も基本的な幾何定数である円周率はいくら頑張っても無理数だった
それでも素数にシンプルな秩序があると信じるのかね?
言っておくがリーマン予想
とうに我々が例外を発見しているんだけどな
まあお前ら地球人は「秩序妄想」に固執し続けるが良い



27: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 07:34:53.36 id:SscuTLGc
やっぱワクワクするわ 素数って



28: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 07:56:33.35 ID:0xYv9/md
そっすね



29: 暇人 2020/06/07(日) 08:31:19.82 id:SKTEb0QC
相変わらず数列の考えで解こうとしているのかな?
巨大素数が連続する確率ってわかっているのかな・・・



32: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 09:16:08.18 id:ueuM9ACe
誕生日の日付の話しか
いろいろな見方ができるんだな

おまいらの誕生日の日付けにはどんな特徴がある?


仮に7月16日だとすると、「16」は偶数であり、4の倍数であり、2の4乗であり、4の2乗である。
では一方の「7」はどうだろう? ラッキーセブンと言うから、なんとなく縁起のいい数のようには感じるものの、目立った特徴はないと思うかもしれない。
→7はウルトラマンとかいろいろ特徴あるだろ



34: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 09:40:42.92 id:o0zC/lJr
素数ゼミとか興味深いな
生物も利用してるからフラクタルっぽいんだろう



40: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 10:30:29.89 id:mnZLjcmw
素数って大して意味ないんじゃない?
並べれば自然と出来るってだけのことでしょ
なんにでもあるそういうの



42: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 10:41:40.89 id:kMSjWlvv
因数分解と''素''因数分解のうちどっちが苦手だったのかはよく覚えていない
素数て10進数の概念だけ?



45: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 11:04:40.71 id:kMSjWlvv
n進数は関係無かった
どうせ同じ数を細かくしたり大きくしたりするだけか



48: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 11:28:10.31 id:XEb4y4v5
>>8
1を素数に入れないのは理由がある。
もともと自然数をいくつかの掛け算の積で表そうとする動機があった。
例えば、
15=3*5
そのときに「素な数」で表したい。「素な数」とは、これ以上分解できない数というもの。
「複雑なものはシンプルなものの組み合わせで成り立っている」という考え方で「分解」が一つの
数の考察であるのだ。

素数の積に分解することを素因数分解というが、
実はそれは一意に分解できることが証明されている。
例えばある自然数 x が
x=2*3*7
x=3*11
みたいに複数の異なる素数で分解されることはない。(証明は各自こころみよ)

ところが、もし1を素数に入れると、
15=1*1*3*5
15=1*3*5
15=3*5
みたいに、一意には分解できなくなる。こうなると、いちいち議論のはじめに1は除外するとか
ことわりが必要となってくる。
それなら最初から1は素数には入れないほうがよい。



49: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 11:32:50.23 id:jD6m2BmE
>>48
ほへ~



63: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:34:54.27 id:y8J1FWYr
>>48
そのように一般的に説明されているけれど、腑に落ちない気もする。
1を素数に含まないのはそのような演算の便宜上の不都合さによるものだろうけれど
1は本質的には素数の資格を持つのではないかと思っている。



54: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:14:28.63 id:cfE2AOjH
カールセーガンのコンタクトのラストでは 素数を計算し続けているパソコンの画面に 規則性が現れてきて、それが画家の署名のようにこの世界を作った神がこの世にいる証だと匂わせて終わってたな
夢があるよな



55: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:15:00.70 id:p3cDSGGF
コンピュータで素数を見つけるプログラムって言うのは計算すらしていないんだよなぁ
調べたい範囲の数だけマス目を用意して、まずは3番目から3つごとに点を付けていって
全部埋められたら、次は点が付いてない最小の数である5番目から5つごとに点を付けて・・・・
というのを延々と繰り返していくだけ。点が付かずに残ったところが素数・・・



58: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:20:28.60 ID:+K1xoYsJ
おまいらが毎日使ってる暗号化通信は、素数が無いと成り立たないよ

素数はとっても身近な存在なんだけどね



59: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:21:15.66 id:ilTap2TZ
10年以上前のNHKスペシャルでは、
ビックバンの方程式に数値を入れると、気持ちが悪いくらい素数とそっくりなパターンになる
宇宙誕生となんらかの関係があるんじゃねーの?とか学者が言ってたな



61: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:28:56.57 ID:+K1xoYsJ
>>59
素数は宇宙を貫く、根源的な要素の一つなのかもね
それこそビッグバンから原子レベルまで、素数との関係が発見されてきてる

神の数字と呼ばれる理由かな



64: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:35:00.27 ID:6AcdAMel
>>1
素数って人生で何の役に立つん?



68: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 13:09:58.06 id:WXWYvk7z
>>64
数えると落ち着く



65: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:40:42.31 ID:1J67cnl/
>>64
お前はバカだから知らんだろうが、素数って

毎日世界中で何億人もが何億回も利用している。



69: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 13:21:32.33 ID:M/Hh9xvk
>>64
情報科学の世界で、公開鍵暗号と呼ばれる
非常に巨大な素数の2つの積を使う事で、セキュリティが保たれている。

非常に巨大な数を二つの素数の積に分解するのは
現代の科学では非常に難しい

この暗号を短時間で解くために
ショアのアルゴリズムという手法で、量子コンピューターが役に立つが
まだ量子コンピューターが扱える桁数が大した事ない(多分)ので
まだ実用に耐えうるレベルじゃない



66: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:43:59.05 id:NfLnObqV
素数の分布なんて意味がないだろう。
だって、自然数って、人間の頭の中にある概念なんじゃないの?
一神教の信者は、頭の中の世界と頭の外の世界が独立していると考えないのだろうか?
一方、7年ゼミ、13年ゼミみたいなのって、適者生存の結果だろ?



67: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 12:58:00.60 id:y8J1FWYr
>>66
適者生存というより、素数周期そのものが要因となっているのだから
本質的に素数が意味を持った例と言える




77: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:14:59.45 id:dEunc3g9
1 2 3 4 5 6
7 8 9 101112
1314・・・

って6列で並べると、123は別もんとして
7の列と5の列だけに素数が登場するっていうのを
自分で見つけた時、なんか大発見した気になった。
2000ぐらいまでしか確認してないけど。



78: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:18:19.54 id:hmbrMzPt
>>77
49=7×7



79: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:21:30.10 id:dEunc3g9
>>78
全部じゃなくて「登場する」ときはその列ってだけだよ



81: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:22:47.41 id:y8J1FWYr
>>77
あんたは天才



82: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:25:54.33 id:hmbrMzPt
>>79
なるほど勘違いしてました

2,4,6の列は偶数だから2以外素数はない
3の列は6n+3で3の倍数だから3以外は素数ではない
よって「2」「3」を除く1と5の列にしか素数はあらわれない



83: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:27:36.70 id:X2aGgC4X
>>77
2と3以外の素数
6n±1 (nは自然数)
の形になるんだよ



85: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:35:44.84 id:dEunc3g9
>>82
>>83

へーそうなんだ それで5と7なんだ
20年来の謎が解けたよ
なんとなくカレンダーの日付の素数に丸付けてたら規則正しく並ぶなあと思って
6列にしてみたんだよね(文系)



88: 名無しのひみつ 2020/06/07(日) 14:49:24.36 ID:7xYA9dYh
素数萌えとかする奴は変態。
数学者はみな変態だー


参考文献

http://anago.2ch.sc/test/read.cgi/scienceplus/1591458717/