星塚研究所

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(-1)×(-1)=1の数学的証明が凄すぎて大草原

1: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:26:59 id:Lrk

足し算の定義:0と-が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ
 0の定義:a+0=a
 -の定義:-a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c

これらの定義だけを使って(-1)×(-1)=1を証明することができます

(-1)×(-1)
=(-1)×(-1)+0        ※0の定義
=(-1)×(-1)+(-1+1)   ※-の定義
=(-1)×(-1)+(-1)+1   ※結合法則
=(-1)×(-1)+(-1)×1+1 ※1の定義
=(-1)×(-1+1)+1      ※分配法則
=(-1)×0+1           ※-の定義
=(-1)×0+1+0         ※0の定義
=(-1)×0+0+1         ※交換法則
=(-1)×0+(-1+1)+1    ※-の定義
=(-1)×0+(-1)+1+1    ※結合法則
=(-1)×0+(-1)×1+1+1  ※1の定義
=(-1)×(0+1)+1+1     ※分配法則
=(-1)×(1+0)+1+1     ※交換法則
=(-1)×1+1+1         ※0の定義
=-1+1+1             ※1の定義
=0+1                ※-の定義
=1+0                ※交換法則
=1                  ※0の定義

 

2: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:27:34 ID:8L4
すごい(小並感)

6: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:29:14 id:LtL
よく読んだら言ってることが分かるのがすごい
確かに定義から完璧に証明できてる

7: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:29:47 id:w6l
分配法則がキモなのかね?

13: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:31:24 id:vBq
>>7
そうだよ
分配法則を満たすように掛け算を負の数まで拡張するためにはマイナス×マイナスをプラスにするしかないんや
分配法則が本質
それを厳密にしっかり証明したのが>>1やね

9: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:29:47 id:DiX
ぐうの音も出ない正論が証明やからな

10: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:30:42 id:ueV
フェルマーの最終定理の証明過程なんて考えたくもないな

11: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:30:50 id:GGJ
だから証明問題はいややねん

あんなんひねくれてなきゃできんやろ(すごい)

12: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:31:15 ID:1DW
数学のテストいっつも15点くらいやったわ

16: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:33:00 id:fGR
e^iπ*e^iπ=e^i2π=cos2π+isin2π=1+i0=1

22: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:34:47 id:GFy
>>16
なにわろとんねん

17: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:33:50 id:ZlA
>>16
オイラーの公式ぐうすこ

ワイらの公式は何やろね

19: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:34:01 id:k0h
>>17

46: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:51:02 ID:0mo
>>17

21: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:34:47 id:k0h
やってることはわかる
いきなりやれと言われたら無理

25: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:36:04 id:ghe
上から順に読んだら確かに定義しか使ってなくて凄いと思った
だけど自分で証明するのは絶対に無理や
数学やってるやつはみんなこれ自分で証明できるんか?

45: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:48:31 id:vBq
>>25
大抵の人は瞬殺やで
群とか環の定義と性質を理解してればできるからね
ただ専門分野が解析系の人はできないかも

26: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:36:18 id:VDb
1×0=0っていうのは掛け算の定義ではないんやな

28: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:37:49 id:ZlA
>>26
1×(-1+1)から辿ることになるんやろね

43: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:46:51 ID:1Dd
>>26
ワイ天才
>>1を読んで完璧に証明のやり方を理解する

a×0
=a×0+0 ※0の定義
=a×0+(-a+a) ※-の定義
=a×0+(-a)+a ※結合法則
=a×0+a+(-a) ※交換法則
=a×0+a×1+(-a) ※1の定義
=a×(0+1)+(-a) ※分配法則
=a×(1+0)+(-a) ※交換法則
=a×1+(-a) ※0の定義
=a+(-a) ※1の定義
=-a+a ※交換法則
=0 ※-の定義

合ってる?

48: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:53:00 id:vBq
>>43
合ってる
一発でこれ書けたのは才能あるで
数学やったほうがええで

27: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:36:57 id:DNW
なんやこれ草
本当にあってるんか?

47: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:52:05 id:vBq
>>27
合ってるで
突っ込みどころがあるとしたら
>=(-1)×0+1+0         >>0の定義
>=(-1)×0+0+1         ※交換法則
この部分やな
ここは交換法則と結合法則を両方使ってる
a+b+c=a+(b+c)=a+(c+b)=a+c+b
とすべきなんやな正確にやるなら

30: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:38:11 id:qTh
こんなん覚えて何に使えるんや(文並感)

38: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:41:20 ID:7Rx
で、その定義とやらはどうやって、証明するんや?

40: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:43:44 ID:5uk
>>38
定義は証明するもんちゃうで
いつも東から太陽が昇ってくるようなもんや
太陽が昇ってくる方を東と呼ぶんやからな

39: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:41:28 id:lmB
理解するのにめっちゃ時間かかったわ
ヤッパ数学はむずかしい

41: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:43:45 ID:6UB
ワイ文系、途中までうんうんと読んでいくも分配法則で「は?」となる

49: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:56:21 id:zkN
>>41
分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c
a=-1
b=-1
c=1
とすると
(-1)×(-1+1)=(-1)×(-1)+(-1)×1

だから
(-1)×(-1)+(-1)×1+1
=(-1)×(-1+1)+1    ※分配法則
やろ

42: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)16:45:39 id:xJM
1+1=2の証明と比べたら大したことなかった

51: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)17:02:09 id:XOC
一般教養の論理学の講義で足し算の証明やらされて死ぬかと思ったわ

53: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)17:07:13 id:tOC
>>51
文系で論理学は辛いわ
ワイも記号論理学分からなさすぎて泣いた

54: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)17:11:22 id:XOC
>>53
ホンマやね
述語論理の基礎くらいまでは何とかなったけど健全性の証明あたりで嫌になって行かなくなったわ

57: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)19:51:36 id:szf

★(-1)×(-1)=1の数学的証明★
足し算の定義:0と-が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
 0の定義:a+0=a
 -の定義:-a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c

これらの定義だけを用いて(-1)×(-1)=1を証明する

(-1)×(0+1)+1+1
=(-1)×0+(-1)×1+1+1  ※分配法則
=(-1)×0+(-1)+1+1    ※1の定義
=(-1)×0+(-1+1)+1    ※結合法則
=(-1)×0+0+1         ※-の定義
=(-1)×0+1           ※0の定義
=(-1)×(-1+1)+1      ※-の定義
=(-1)×(-1)+(-1)×1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1)+(-1)+1   ※1の定義
=(-1)×(-1)+(-1+1)   ※結合法則
=(-1)×(-1)+0        ※-の定義
=(-1)×(-1)          ※0の定義

(-1)×(0+1)+1+1
=(-1)×(1+0)+1+1     ※交換法則
=(-1)×1+1+1         ※0の定義
=-1+1+1            ※1の定義
=0+1                ※-の定義
=1+0                ※交換法則
=1                  ※0の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

65: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:00:35 id:Fw1
>>57
これは読みやすい!
有能

68: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:11:56 id:jFe
>>57
簡略版

(-1)×(0+1)+1+1
=(-1)×0+(-1)×1+1+1  ※分配法則
=(-1)×0+1           ※1の定義、結合法則、-の定義、0の定義
=(-1)×(-1+1)+1      ※-の定義
=(-1)×(-1)+(-1)×1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1)          ※1の定義、結合法則、-の定義、0の定義

(-1)×(0+1)+1+1
=1                  ※交換法則、0の定義、1の定義、-の定義、交換法則、0の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

70: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:27:35 id:RQQ
>>68
(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(-1)+(-1)×1+(-1)×1+1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1)      ※1の定義、結合法則、-の定義、0の定義

(-1)×(-1+1+1)+1+1
=1            ※-の定義、交換法則、0の定義、1の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

これでどうだ

61: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)19:57:46 id:JYV
分からん 上から読んでも分からん ワイはやっぱりアホなんやな

64: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)19:59:19 id:YBG
>>61
文系ワイでも分かったぞ
クッソ分かりやすいやん
数学ってこういうことなんやなぁって思った

63: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)19:58:39 id:uRJ
ちゃんと読むとわかるのがすごい

66: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:09:29 ID:0mo
有能が集まるスレ

69: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:13:03 id:kpK
おんj民って頭ええんやなぁ

71: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:37:03 id:J4d
理科大やと1年の頃やった気がする

73: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:40:53 id:JYV
足し算の定義と掛け算の定義が分からん 0と-が存在するってどういう事やねん

77: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:49:37 id:DmP
>>73
どんなaに対してもa+x=aとなるようなxが存在するような演算を足し算と呼ぼう
そんでこのxを0と名付けよう

96: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:18:02 id:JYV
>>77
遅くなったけどサンガツ
でもやっぱり分かりそうで分からんわ…

97: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:19:31 id:E9A
>>96
0がないと困るやん
結合法則成り立たないと困るやん
そういう不可欠なのを抽出したのが足し算の定義やん

74: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:41:56 id:iFb
一般の可換体の演算やな

103: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:32:10 id:h2S
>>74
この証明は非可換環でも使える証明やで

105: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:33:26 id:h2S
>>103
ただ1の存在を前提にしてるから1のある非可換環だけな

76: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:47:27 id:OBv

★(-1)×(-1)=1の数学的証明★
【定義】
足し算の定義:0と-が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
 0の定義:a+0=a
 -の定義:-a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c

これらの定義だけを用いて(-1)×(-1)=1を証明する

【証明】
(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(-1+1)+(-1)×1+1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1+1)+(-1)+1+1   ※1の定義
=(-1)×(-1+1)+(-1+1)+1   ※結合法則
=(-1)×(-1+1)+0+1        ※-の定義
=(-1)×(-1+1)+1          ※0の定義
=(-1)×(-1)+(-1)×1+1     ※分配法則
=(-1)×(-1)+(-1)+1       ※1の定義
=(-1)×(-1)+(-1+1)       ※結合法則
=(-1)×(-1)+0            ※-の定義
=(-1)×(-1)               ※0の定義

(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(0+1)+1+1          ※-の定義
=(-1)×(1+0)+1+1          ※交換法則
=(-1)×1+1+1             ※0の定義
=-1+1+1                 ※1の定義
=0+1                    ※-の定義
=1+0                    ※交換法則
=1                       ※0の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

【簡略版】
(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(-1)+(-1)×1+(-1)×1+1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1)       ※1の定義、結合法則、-の定義、0の定義

(-1)×(-1+1+1)+1+1
=1              ※-の定義、交換法則、0の定義、1の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

84: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:59:46 id:iBl
>>76
一行ずつゆっくり読んでいったら文系のワイにも分かったで
数学って凄いンゴ
サンキューガッツ

78: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:53:27 ID:8T9
定義だけを使って答えを導くパズルだと思えば面白いね
結局-1×-1が1になるのは足し算や掛け算の定義をこうしたらそうなるってだけの話なんやね

82: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:58:32 id:bmM
ワイ、上から読んでガチで発狂

83: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)20:59:01 id:oK0
一行目からもう嫌

87: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:02:22 id:SzY

★(-1)×(-1)=1の数学的証明★
【定義】
足し算の定義:0と-が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
 0の定義:a+0=a
 -の定義:-a+a=0
 結合法則:a+b+c=a+(b+c)
 交換法則:a+b=b+a
掛け算の定義:1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
 1の定義:a×1=a
 結合法則:a×b×c=a×(b×c)
 分配法則:a×(b+c)=a×b+a×c

これらの定義だけを用いて(-1)×(-1)=1を証明する

【証明】
(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(-1+1)+(-1)×1+1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1+1)+(-1)+1+1   ※1の定義
=(-1)×(-1+1)+(-1+1)+1   ※結合法則
=(-1)×(-1+1)+0+1        ※-の定義
=(-1)×(-1+1)+1          ※0の定義
=(-1)×(-1)+(-1)×1+1     ※分配法則
=(-1)×(-1)+(-1)+1       ※1の定義
=(-1)×(-1)+(-1+1)       ※結合法則
=(-1)×(-1)+0            ※-の定義
=(-1)×(-1)               ※0の定義

(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(0+1)+1+1          ※-の定義
=(-1)×(1+0)+1+1          ※交換法則
=(-1)×1+1+1             ※0の定義
=-1+1+1                 ※1の定義
=0+1                    ※-の定義
=1+0                    ※交換法則
=1                       ※0の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

【簡略版】
(-1)×(-1+1+1)+1+1
=(-1)×(-1)+(-1)×1+(-1)×1+1+1 ※分配法則
=(-1)×(-1) ※1の定義、結合法則、-の定義、0の定義

(-1)×(-1+1+1)+1+1
=1 ※-の定義、交換法則、0の定義、1の定義

∴(-1)×(-1)=1    Q.E.D.

88: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:02:35 id:PkJ
>>862
+マイナスは裏返されたカードがたされるようなもんなんと違うかな

89: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:03:25 id:bmM
>>88
そのイメージやな

90: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:04:24 id:HBy
>>88
裏返すカードが貯まるのが足し算になって裏返したものを裏返すのが掛け算になる理由が分からんやん
逆でもええやん

107: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:35:23 ID:0mo
なんか新聞読んでる感覚

114: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:50:53 id:Hao
偶数より整数の総数の方が多い→分かる
整数より偶数の総数が方が多い→アホかお前
偶数と整数の総数は同じ→ファッ?!

119: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)22:13:06 ID:8OJ
ワイ将、言ってることは何となく理解できるがやりたいとは思わない

121: 名無しさん@おーぷん 2016/05/24(火)11:19:08 id:GSk
わざわざやる意味

94: 名無しさん@おーぷん 2016/05/22(日)21:11:26 id:Osj
中学生の頃、先生に

マイマイやろ?そしたらプラプラになんねん
だから答えは1やで

と習い、完全に理解


参考文献

https://hayabusa.open2ch.net/test/read.cgi/livejupiter/1463902019/