1: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 09:55:51.56
0^0（０の０乗）が定義できないと考えてる人がいる。
簡単な所では
0^0 = 0/0
だという思い込み。
あるいは
0^n = 0 (n>>0)
だから
0^0 = 0
という間違った証明。
「指数法則に反しないこと」を条件にすれば
0^0 = 1
と定義することだけが許される。
０の０乗の定義は、それを納得するかどうかだけなんだけどね。
2: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 10:23:29.17
>>1
くそすれを消費してからにしろ
3: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 10:38:56.30
>>2
それは 0^0 が何になるのか、という話題だったので。
ここでは、定義できるかどうかだけに内容を限定します。
5: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 11:17:50.94
全ての変数の０乗は１と決まっている。
あ＾０＝１、い＾０＝１だ。
9: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 13:33:07.75
>>5
０乗は１だと証明できると思っている人もいるようだが、実際には、これに書かれたように「０乗は１と決める」が正しい。
指数法則の成立を仮定すると
a^(0+1) = a^0 * a^1
から
a^0 = a/a = 1 (a≠0)
となるが、これで証明されたのは、０乗が定義可能なことと値が１であることだ。
でも実は、もう一つの指数法則である
a^(m*n) = (a^m)^n
を併用すれば
a^0 = (a^0)^-1
から
a^0 = 1
というのは導ける。この場合には a≠0 という制限は付かない。
6: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 11:33:02.40
0^0 = 0/0
という考えは、指数法則を使って
0^0 = 0^(1-1) = 0^1 * 0^-1 = 0/0
という所から来ている。でもそれは、0^-1 が存在するならの話。
２つ目の証明の方は
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
から来ているが、これから数学的帰納法によって証明されるのは
0^n = 0 (n>>0)
ということであって
0^0 = 0
と考えるのは間違い。
42: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 09:40:39.88
>>6
では
0^0 = 0/0
という考えが指数法則から来ていると書いたが、もっと酷いのになると
0^1 = 0^0 * 0
というべき乗の定義から得られる式の両辺を 0 で割っていることがある。
１つ目の間違いは、0 で割ってはいけないという、初歩的なミス。
２つ目の間違いは、「定義できない」という証明には成り得ないこと。
上の式を 0^0 を x で表して書くと（左右逆にして）
0x = 0
となる。もちろん、この式だけでは x は求められないのであるが、0^0 を定義することは
x = 1
という条件を加えることだから、連立方程式と考えることができる。
これには解が存在するから、「定義できる」と証明されてしまうのだ。
どちらの間違いも、中学生が習う内容も知らないということだが、そんな単純なことにも、引っかかる人はいるものだ。
117: １３２人目の素数さん 2014/05/24(土) 14:14:12.60
>>6
において
0^n = 0 (n>>0)
から
0^0 = 0
と考えるのが間違いだとは言ったが、正しい考え方は示してなかったので書いてみよう。
因数定理により
0^n = 0
ということは、(1-y/n)が因子であることを示す。よって
0^y = f(y)(1-y/1)(1-y/2)... = f(y)Π[n=1,∞](1-y/n)
だと分かる。f(y)は任意の関数である。
g(y) = Π[n=1,∞](1-y/n)
で表しておく。
ここで、f(y)を有限の関数だと仮定する。
g(y)を計算してみると
g(y) = 0 (y>>0)
g(y) = 1 (y=0)
g(y) = ∞ (y<0)
となることが分かる。するとf(0)の値以外は無視できるから、f(0)をAで表し
0^y = Ag(y)
となる。これより
0^0 = A
であるから、0^0=0 とは決められない（そういう推論は正しくない）ことが分かるだろう。
ちなみに、0^0=0 としたいのなら、A=0 より A=y とする方が良い。
13: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 14:38:06.95
もー言い尽くされて、耳にタコできたり苔生えたり…
可除でない特異点まで定義域を延長することに魅力を感じない人と、定義したっていいじゃんと思う人がいるだけの話。
定義すれば二項定理や巾級数の表記にちょっと便利ではあるが、指数法則の適用範囲が広がるわけでもないし、式の表記だけの問題っぽい。
哲以外の人には、どっちでもいい些事。
15: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 15:32:15.67
>>13
0^0 の定義に魅力を感じない人と便利だと思う人がいる。
そのどちらも正しいですよね。
だから、このスレッドの表題は「０の０乗は何か」ではないのです。
定義域内でのテイラー展開が可能な事を条件とするなら
x^y (y≠0)
とすることが必要。
有理数乗から実数乗に拡張する時
x^y = lim[m→x,n→y]m^n
という定義を使いたければ
0^y (y>>0)
という条件を付けるべき。
他の値に定義はできないからと
a^0 = 1
としてしまうのも一つの考え。
私は、そのどれが良いかという話はしていない。
ちなみに、二項定理はべき乗の定義と考えることもできるので
(1+x)^y = Σ[k=0,y]C(y,k)x^k
に対し x=-1,y=0 としてやっても、０の０乗は定義できる。
25: 13 2014/05/19(月) 22:05:35.60
>>15は、よく解っている人と思われ、
>>1と同一人物だとは信じがたい。
問題のありかを正しく理解した上で、0^0を定義したいかどうかを、あくまで主観的に語り合うのであれば、それは数学好きの酒の肴には魅力的で、こころゆくまで語らったらいい。
しかし、そこに、「定義できない」とか「=1であることが証明できる」とか言い出す人外の低能が参加するようであれば、話は別となる。
29: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 23:02:52.42
>>25
同一人物なのは、私が保証します。
「=1であることが証明できる」かどうかは、何を仮定するかに依ります。
数学は、仮定とする命題から別の命題を証明することですからね。
仮定が異なれば、結果も異なるのは当然だから、結果だけを言い合ってても合意できないのは無理は無い。
一般的なべき乗の定義から 0^0 が定義できないことは証明可能な事実です。
そこに連続性を条件に加えると、0^0 では不連続であるから「定義できない」気がしますが、べき乗を解析的な関数と仮定するなら「=1であることが証明できる」と言えなくもありません。
32: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 23:31:35.92
>>29
いいえ。それは間違い。
局所解析的な関数と仮定する⇔解析接続する
なので、その場合は、>>25に書いたように「0^0 は定義できない」という結論になる。
関数は解析的であるべき…という思想は主観に過ぎないので、それを否定して、組み合わせ論的な関数の中から式の表記に便利なものを選ぼう…という思想であれば、x^0=1を優先して0^0=1を選ぶこともできる。
単に、私はそれが嫌いで、解析性を優先したい…というだけのこと。
33: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 23:46:20.58
>>32
局所解析的な関数と仮定する⇒その関数で計算すると 0^0=1
という話なので、解析性を犠牲にした訳ではない。
ただし、0^y では解析的とはならないので、そこを定義域とすることには疑問が残るのだけれど。
34: １３２人目の素数さん 2014/05/20(火) 02:10:32.11
>>32
解析性を優先して0^1を定義しないわけね。
26: 13 2014/05/19(月) 22:28:03.52
>>0のアンフェアな点は、「定義できない」派の主観性を指摘しながら、「0^0=1」の主観性には触れていないことにある。
指数法則に矛盾しないだけなら、0^0は1でも0でもかまわない。
0^0=1の利点は、>>13にも書いたように、x^0が定数関数1になるこてに尽きる。
クヌースなど有名な0^0=1論者の論点もそこにある。
しかし、そのためには、x＜0でもx^0=1とせねば一貫しない。もはや、指数法則との関係もなくなる。
式の表記の都合だけで、そのような拡張をするのが美しいかどうかということ。
私の主観的な意見は、x＞0,y∈実数でのx^yを解析接続によってx,y∈複素数まで延長するのが美しい…というもの。
その法則では、x=y=0はx^yの定義域には含まれない。
無論「解析接続による」というのは、主観に過ぎない。
賛同者の多い主観だとは思うが。
30: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 23:03:03.24
>>26
x=0,y≠0もx^yの定義域には含まれない。
31: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 23:23:15.41
>>26
解析接続を使う場合は、元の領域に依らず関数は決まるから、たとえば
(1+x)^y (x=0,y=0)
から始めても良い。これは既に示した通り、二項定理で表される。
二項定理で計算したら 0^0=1 となるが、この結果には賛同するのだろうか？
もちろん 0^y は定義域でないと言うのは自由なのだが。
14: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 15:14:22.50
正の整数nについてn!はnの倍数だから0!は0の倍数で0のはず。
一方n!=n*(n-1)!となるべきだから0!=1のはず。
よって、0!は定義できない
と考えるなら0^0は定義できないと考えるのも合理的だよ
17: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 15:53:51.42
>>14
nが負の整数でもn!は存在するの？
それを説明できないようじゃ、その命題は使い物にならないね。
16: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 15:45:20.14
0!など存在しない。（0.5)!もない。
18: １３２人目の素数さん 2014/05/19(月) 17:16:41.71
それは君の信念にすぎない
35: １３２人目の素数さん 2014/05/20(火) 08:58:14.43
べき乗に対し、解析性を優先するという話と定義域に関連があるかのような流れになっているが、両者は無関係である。
２変数関数としての x^y は、x≠0 という条件の下でテイラー展開が可能であり、べき級数によって表される。
これを解析性があるとか解析関数だと言っている。
べき級数には収束半径R_x,R_yが存在し、たとえば x=a で展開を行った場合は
R_x = a
R_y = ∞
である。x=0 という場所はある種の特異点だから、収束はそこまでとなる。
また、このべき級数は、x=0, y≧0 という条件下で収束する。
これを 0^y で表すなら
0^y = lim[x→+0]x^y (y≧0)
が成立し、この関数は
0^y = 0 (y>>0)
0^y = 1 (y=0)
と表される。
解析関数の要件として定義域内での展開が可能であることを条件とするなら、0^y は定義域から外れる。
x^yが収束することを条件とするなら、0^y あるいは 0^0 は定義域に含まれる。
どちらを選ぶかは、必要とする性質の問題であり、解析性を優先するかどうかではない。
それに、組み合わせ論的な考えで選ぼうと、便利なものを選ぼうと、0^0=1 となるので、優先するも何も無い訳だ。
36: １３２人目の素数さん 2014/05/20(火) 09:56:00.72
0^0=1 は、それなりに便利で、醜いという点以外に文句は無い。
しかし、この定義を推す人の中には
>>35
＞ それに、組み合わせ論的な考えで選ぼうと、便利なものを選ぼうと、0^0=1 となるので、優先するも何も無い訳だ。
のように、必然的に 0^0=1 になると思っている人が多く、そもそも「定義する」とは何事かを見失っているとしか言えない。
すなおに「私は 0^0=1 が好きだから、そう定義する」というのなら、「私はそれが好きじゃないが、それはそれでいいかもね。」と答えるだけだが。
定義することは数学の基本なので、これは巾乗の定義に限った話ではない。
37: １３２人目の素数さん 2014/05/20(火) 11:10:02.17
>>36
解析関数としてx^yを定義する⇒0^0を計算すると1になる
という話（これは証明が可能な事実）をしてるだけなのに、それが 0^0=1 を定義したという話になっている。
私はべき乗を解析関数と思うなら、0^0=1 と定義するのが自然だとは思うが
>>35
で示したことは、定義ではなく、証明だ。
43: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 11:33:32.62
そもそも0^0は存在するのか？
存在するなら １
存在しないなら ０
44: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 11:49:46.06
存在するようにする方法が存在する
45: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 12:37:08.84
>>43
「存在するのか」を「計算できるのか」に置き換えれば、イエスだろう。
べき乗は、４つの式によって定義されている。
(1) a^1 = a
(2) a^(n+1) = a^n * a
(3) a^0 = 1 (a≠0)
(4) a^-n = 1/a^n (a≠0)
でもこれは、式が多くて煩雑だ。
集合論によれば、写像の数として定義できる。ただし、これには拡張性というものがない。
それ以外にも、二項定理を使う定義もある。
あるいは、テイラー展開によって関数x^y を作れば、そこから４つの式すべてを導くことができる。
そして、重要なことは、どの方法でも 0^0=1 と計算できてしまうことだろう。
現在のべき乗の定義にしたって、(3)において a≠0 という条件を付ける理由は何もない。
べき乗のことを「指数法則を使うことで計算を便利にする規則」と考えれば
0^0 = 1
という解が導けるから、これも一種の計算と言えるだろう。
46: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 13:15:52.51
>>45
なぜ(3)で(a≠0)とわざわざ条件付けてるの？
47: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 13:59:09.51
>>46
標準的なべき乗の定義には付いている。
でも、なぜ？と聞かれても答えられないだろう。（多分、誰も）
(3)式の右辺は単位元だ。
よって、(3)は a^0 が単位元だということを表している。
同様に、(4)は a^-n が a^n の逆元だということを表している。
０には逆元は存在しないから、(4)で０を除外するのは理解できる。
でも、単位元が存在しないということは無いから、(3)で０を除外するのは不可解だ。
昔からそうだった、としか言えない。
50: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 23:14:13.91
a^0
=a^(1-1)
=(a^1)/(a^1)...{a=0のとき(a^1)≠0}分母に０が来てはならない。
ゆえに
=a/a
=1
じゃダメか？
52: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 23:35:35.71
>>50
べき乗の定義では
a^1 = a
となってるからね。
a=0 のとき (a^1)≠0
では、べき乗とはまるで違う関数になってしまう。
59: １３２人目の素数さん 2014/05/22(木) 11:38:29.96
０を空集合と考えると、０の０乗は集合論的には空集合から空集合への写像の集合となり、従ってその要素は空集合と空集合の直積集合の部分集合で、グラフの条件を満たすものであり、よって空集合がそうである
空集合はいかなる集合に対してもその部分集合であることを思い出そう
このことから０の０乗は空集合のみを要素として持つ集合
すなわち１である
61: １３２人目の素数さん 2014/05/22(木) 14:00:04.33
>>59
集合論でどんなに正しくても、それは x,y∈N という条件下での
lim[x→0,y→0]x^y = 1
という証明でしかない。
x,y∈R の場合には
lim[x→0,y→0]x^y = 1
の証明はできない。（つまり、間違っている）
私たちが普段使っているべき乗とは、下の式だ。
ただし、本来の意味での 0^0 とは x,y∈R での
(lim[x→0]x)^(lim[y→0]y) = 1
なので、これが成立すると考えても、何ら問題はない。
65: １３２人目の素数さん 2014/05/22(木) 14:31:59.25
>>61
>集合論でどんなに正しくても、
これは集合論（で証明されていること）は一切使わないという宣言か？
それとも自分に都合のいいことは使うけど都合の悪いことは拒否するというダブスタ宣言か？
67: １３２人目の素数さん 2014/05/22(木) 14:40:54.86
>>65
アホか
極限との整合性という全く別の観点から定義を試みているだけの話だろう
69: １３２人目の素数さん 2014/05/22(木) 14:51:14.53
>>65
集合論で得られる式は、二項定理でも得られるようなものです。
無視しても何ら不都合のない内容です。
48: １３２人目の素数さん 2014/05/21(水) 14:59:16.55
そもそも０て何なの
意味のある数なのか便宜上の記号なのか？
参考文献
