星塚研究所

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秀逸で面白い「確率論」教えて下さい

1: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/28(水) 23:38:30.32
例:モンティホールジレンマ
モンティ・ホール問題(Wikipedia
「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。
プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。
ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。
プレイヤーはドアを変更すべきだろうか?」

6: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/29(木) 00:25:45.27
>>1
クイズだろ
7: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/29(木) 00:35:39.82
クイズじゃない。
最後まで読むと分かる。
9: KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 投稿日:2011/12/29(木) 00:49:45.42
Re:>>7
最後まで読むと,ドアにいろいろな可能性があることが分かる.

5: KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 投稿日:2011/12/29(木) 00:22:35.69
確率論の面白い話に,期待値がない確率変数がある.
確率密度函数 R→R,x→(1+x^2)^(-1)/π をもつ確率変数には期待値が存在しない.
0付近の値になりやすい確率変数ではある.
12: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/29(木) 07:59:16.04
1/e の3乗が約5%になることかな。

問題としては
30分間に一台以上車が通る確率が95%の道路があります。
10分間に一台以上車が通る確率はどれくらいか。
答え 約63%

なんか、実感より少ないなーって思った
13: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/29(木) 14:05:13.14
エルゴード理論
トランプのデッキをきればきるほど公平性が増すことを数学的に証明できる。

面白いって言うか、まあ常識だったね。
14: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/29(木) 22:31:19.08
>>13
そうそう、そういうの

6: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/31(土) 22:32:30.65
別スレで出題したらみんなにシカトされた高1の数学の確率を求める問題を投下します。
ねらー不信になりそうなので、ズバッと回答お願いします(´・ω・`)
円周を6等分する点を時計回りの順にA,B,C,D,E,Fとし、点Aを出発点として小石を置く。
さいころを振り、偶数の目が出たときは2,奇数の目が出たときは1だけ時計回りに分点上を進めるゲームを続け、最初に点Aにちょうど戻ったときを上がりとする。
ちょうど1周して上がる確率を求めよ。
17: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/31(土) 23:23:40.28
>>16
確率は一年でやったっけ?
18: 132人目の素数さん 投稿日:2011/12/31(土) 23:25:48.63
>>17
やりましたよ。数Aで

6: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 01:07:11.02
二つの封筒問題は?
30: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 02:23:19.53
>>26
そもそも確率的にはあの封筒自体を用意できない。

7: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 01:12:29.21
ボース‐アインシュタイン統計、フェルミディラック統計、マクスウェル‐ボルツマン統計の違いとかは、確率論を考える上では面白いと思うな。
28: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 01:40:08.53
>>27
統計学も面白そうだけど、もっと身近なものない?
統計学自体よく知らんけども。
29: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 02:18:18.08
>>28
いや、>>27の話は統計学の話じゃない。
ここでいう「統計」ってのはデータの動きというか、データから考えられる、その事象の確率の在り方みたいなもの。

普段人が考えてる確率(このスレとかで話題になるいろいろな問題はマクスウェル‐ボルツマン統計的な考え方を自然と前提にしてみんな考えてる)じゃない確率(ボース‐アインシュタイン統計、フェルミディラック統計)が世の中にはあって。
実験結果から、「あれ人間が普段考えてたのと粒子の動きって違わないか?」ってことで、それが導かれたって話。

確率論のテキストには載ってるのもある。フェラーには載ってる。
32: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 09:11:00.23
>>29
ありがとう。とんだ勘違いをしていた。
31: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/01(日) 02:34:26.52
>>28
3個のボールを3個の箱に入れるとする。
この場合ボールが区別できれば、27通りの組み合わせがある。
ボールが区別できないとすると、10通りの組み合わせがある。
下の数字は各箱に入ってるボールの数と普通に考えた確率

1)300(1/27)
2)030(1/27)
3)003(1/27)
4)210(1/9)
5)201(1/9)
6)120(1/9)
7)102(1/9)
8)012(1/9)
9)021(1/9)
10)111(2/9)

でも、ボース-アインシュタインだと、それぞれの確率は1/10になり、そういう挙動をする粒子が存在する。
要は、人間が頭の中で「当然」とか「一般的」と考えているのとは違う標本空間が現実に存在するという話。
34: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/02(月) 03:08:43.76
>>31
それは、単に出る面が均等でないサイコロ、みたいなもの
その事象ごとに対応する確率が1/10なだけ、ではなくて

4個4個とかにしても同様に、ボールを区別しないで組み合わせ
た場合すべてについて、均等な確率になるの?
35: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/02(月) 04:54:59.26
>>34
歪みで説明できると思うなら、普通の確率の計算方法を前提にして、区別のできない3個のボールを3個の箱にいれた場合、>>31を満たす(それぞれの確率が1/10になる)ような歪み方を考えてみて。

粒子の動きを調べて見ると、マクスウェル-ボルツマン統計の修正には結果が帰着できない事例が物理学の分野(量子力学)では見つかり、それを説明するためにはかんがえだされたのが、ボース-アインシュタイン統計やフェルミ-ディラック統計。

直感的に納得しやすい考え方で説明しようとしてできなかったので考え出された。

>>31の例はボース-アインシュタイン統計だけど、2個の区別できない粒子を3個の箱でも、4個を4個の箱でも同じ様に考える。

フェルミ-ディラック統計は微妙に考え方が違う。

量子力学で出てくる考え方で、ボース-アインシュタイン統計に従うものとフェル-ミディラック統計に従うものがあり、光子、パイ中間子などは前者に従うボース粒子、電子、中性子、陽子などは後者に従うフェルミ粒子。

関心をもったらググったり、調べるのを勧める。
36: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/02(月) 05:06:32.08
>>34
思うなら、じゃなくてわからないし知らないから聞いてるんだよ。
それにゆがみ方を考える必要もない。もともと33で成ってるならそういうものだ、でいい
n個n箱でも常に均等、ならもちろん間違いとなるだけで。で、どうなるのかなって聞いてるだけ。

つまり
>4個を4個の箱でも同じ様
ここが聞きたかった。トン。
37: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/04(水) 00:53:15.88
任意の二つの自然数を選んだとき、その二つが互いに素な確率は?

42: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/05(木) 06:49:01.61
>>37

次のように考えてみた。
ある数nが選ばれた時に、それが他の数との間で素である確率は、(n-1)/n。
nよりも小さい数は有限だがnよりも大きな数は無限にあるので、大きな部分でnごとに素じゃなくなるため。

1は除いて、nまでの数について確率を計算すると、nまでの数が選ばれる確率は等しいとして
(1/n)Σ(i-1/i)=(1/n){1/2+2/3+...+(n-1)/n}
ここで、nを無限にすると1。
43: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/05(木) 07:12:31.39
>>42
上の考えだと、1を入れても、確率は1だね。
50: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/08(日) 15:58:04.25
>>37
素数 p が、ふたつの自然数の共通の素因数でない確率は
1 - 1/p^2

ふたつの自然数がいかなる共通の素因数も持たない確率は
Π[p] (1 - 1/p^2)
(p は素数を走る)

Π[p] (1 - 1/p^2)
= Π[p] 1/(1 + 1/p^2 + 1/p^4 + 1/p^6 + …)
= 1/(1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + …)
= 6/π^2
38: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/04(水) 02:07:21.05
加算無限個の中から等確率に(偏りなく)選ぶことはできない
39: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/04(水) 09:53:48.43
>任意の二つの自然数を選んだとき
これが出来ないってこと?
40: 132人目の素数さん 投稿日:2012/01/04(水) 10:51:25.29
確率の定義まで任意だと話にならない。
67: 132人目の素数さん 投稿日:2012/03/20(火) 22:56:58.71
13 名前:132人目の素数さん []: 2012/03/20(火) 17:13:06.32
確率の問題を一つだそう。

数学オリンピックでは、確率・統計・複素数が入っていないので、基本的な事柄で有り、且つ、有名問題ながら知らない人も多いと思う。
a, b を 0 ≦ a < b ≦ 1 なる実数とする。
賽コロを n 回投げる時 1 の出る目の個数が na 以上 nb 以下である確率を p_n とする。
この時 lim [n → ∞] p_n を求めよ。
この答えが直感でも良いからすぐに分からない人は、数学をやる資格無し

90: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/05(水) 11:52:52.26
コンピュータって、1か0のどちらかを完全ランダムに選ぶことすらできないんだってな
94: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/07(金) 06:00:00.90
>>90
コンピュータじゃなくて誰なら(何なら)できるんだい?
91: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/05(水) 14:43:11.61
完全にランダム、の定義による。
95: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/08(土) 12:56:06.02
完全ランダムがアルゴリズムが存在しない意味なら自明だな
96: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/09(日) 02:07:11.15
再現性のないプログラムを作ることも可能なので
(それをアルゴリズムというかどうかは不明)
自明といえるかどうかまではなんともいえない。
97: 132人目の素数さん 投稿日:2012/12/09(日) 02:56:20.94
そういえば量子雑音を利用した乱数発生機があったな

109: 132人目の素数さん 投稿日:2013/10/18(金) 16:13:32.67
【囚人のパラドックス
仮釈放を申請した3人の囚人A,B,Cがいる。
Aは看守から「A,B,C3人のうち2人だけに許可が下りた」と知らされたが、「その中にAが含まれているかどうかは釈放当日になるまで教えられない」と告げられた。

そこでAは「自分自身に関することでなければ尋ねても差し支えあるまい」と考え、看守に「B,Cのうちでいいから、釈放される囚人を1人だけ教えてくれ」と頼もうとしたが、ふと、次の様に考えて思い留まった。
「待てよ、こんなことを聞いた瀬にはマズイことになるぞ。
3人のうち2人が釈放されるんだから、今のところ俺が釈放される確率は 2/3 だが、もし看守に尋ねて、例えば、Bが釈放されることが分かったとすれば、残りのうちで釈放されるのは俺(A)かCなのだから、俺の釈放される確率は 1/2 になってしまうじゃあないか!?

111: 野球は八百長です 投稿日:2013/11/04(月) 23:59:39.31
プロ野球の日本シリーズは 過去63大会で実に24回も第7戦にもつれこんでいる
ここから「勝敗の人為的な操作」の存在をを証明しなさい
112: 132人目の素数さん 投稿日:2013/11/05(火) 17:02:41.85
引き分けがあって7戦、あるいは、8戦が行われることがある。
引き分けが無いシリーズだけでカウントすると、58回中20回である。(今年の楽天優勝を含む)

実力が互角である場合、第7戦に突入する確率は、2C(6,3)/2^7=5/16
58回中なら、58*(5/16)=18.125回あるのが期待値
20回が、異常な値だとは到底思えない。証明不能だろう

ちなみに、4勝0敗、4勝1敗、4勝2敗の確率は、それぞれ、
2C(3,3)/2^4=1/8=2/16、2C(4,3)/2^5=1/4=4/16、2C(5,3)/2^6=5/16
134: 132人目の素数さん 投稿日:2014/05/16(金) 19:19:46.35
眠れる美女の問題ちょっと面白い。
135: 132人目の素数さん 投稿日:2014/05/20(火) 22:59:06.54
眠り姫問題とも呼ばれてるやつ?
コインを投げるタイミングによって確率が変わるというのが定説らしいが、自分はそのような考えに共感できないなあ

136: 132人目の素数さん 投稿日:2014/05/25(日) 12:41:45.20
>>135
それそれ。
でもそんな話ではないような?
138: 132人目の素数さん 投稿日:2014/06/02(月) 18:00:34.64
>>136
大きく分けて1/2説と1/3説の2つの考え方があるが
コインを最初の覚醒より先に投げる場合は1/2説が正しく
コインを最初の覚醒の直後に投げる場合は1/3説が正しい
というのが分析哲学での定説らしい
139: 132人目の素数さん 投稿日:2014/06/10(火) 17:26:05.02
>>138
そういう説があるのか。
俺も納得できないけど。
122: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/27(金) 22:06:44.27
とりあえずガウス分布と言っとけばなんとかなるのが統計学
124: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/28(土) 02:05:00.27
統計学と確率論の違いはなにか?
学と論の違い?
125: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/28(土) 02:42:31.97
そういえば、おれ昔、統計学講座と確率論講座がある大学に奉職していたが、両方仲が悪かった、というか、なんか認めてないという感じだったな
いや、それぞれの分野を認めてないというんでなく、その名にあった研究をやってない、というような、批判だったか。
あんまり書くと身元がばれそうだね。
何しろ「講座制」があったころの昔話。
今の統計学と確率論はそのころの雰囲気とは違うんだろうな
126: 132人目の素数さん 投稿日:2013/12/28(土) 07:34:13.07
学と論の違いでいいんじゃない?
確率論は解析の一分野で、
統計学は数学とは別の科学。


参考文献

http://ai.2ch.net/test/read.cgi/math/1325083110/